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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do ENEM 1998

Prova · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira de arrumar as bolas na caixa achando que seria uma boa idéia organizá-las em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior, como mostra a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela conseguiu colocar na caixa:

Uma esfera na parte superior com uma seta apontando para baixo em direção ao centro de quatro esferas agrupadas que formam a camada inferior.

  1. A
    729 bolinhas.
  2. B
    984 bolinhas.
  3. C
    1000 bolinhas.
  4. D
    1086 bolinhas.
  5. E
    1200 bolinhas.
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Resolução comentada

Esta é a questão 2 do ENEM 1998, que continua a questão 1. O enunciado original não aparece aqui, mas ele diz que a caixa é cúbica, de aresta 10 bolinhas, e que a primeira pessoa arrumou as bolinhas em 10 camadas de 10 × 10, num total de 1000.

Na segunda arrumação, as camadas se alternam, e cada bolinha de uma camada se apoia em 4 bolinhas da camada de baixo, encaixada nos vãos entre elas.

  1. Camada ímpar (1ª, 3ª, ...): as bolinhas ficam alinhadas com as paredes, em 10 \times 10 = 100 bolinhas.
  2. Camada par (2ª, 4ª, ...): cada bolinha fica sobre o vão entre 4 bolinhas da camada de baixo. Em cada direção há um vão a menos que bolinhas, ou seja, 9 \times 9 = 81 bolinhas.
  3. Com 12 camadas, são 6 ímpares e 6 pares.

Total:

6 \times 100 + 6 \times 81 = 600 + 486 = 1086

Essa arrumação aproveita melhor o espaço vertical, pois as camadas ficam mais próximas e cabem 12 em vez de 10, o que compensa as bolinhas a menos nas camadas pares. Por isso ela coloca mais bolinhas que a primeira pessoa (1000).

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem multiplica 12 camadas por 100 bolinhas, esquecendo que as camadas alternadas têm 81.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde a 9^3 = 729, que não tem relação com a arrumação em camadas alternadas.
  • BResulta de um erro na contagem das camadas pares, que não dá 6\times100+6\times81.
  • CÉ o total da primeira arrumação (10 camadas de 100), sem considerar as 12 camadas.
  • ESupõe 12 camadas de 100 bolinhas, esquecendo que as camadas pares têm só 81.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Amarela do ENEM 1998