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Questão 152 do ENEM PPL 2024

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

A pressão sonora (P), medida em newton por metro quadrado (\text{N/m}^2), e o nível dessa pressão sonora (n), medido em decibel (dB), se relacionam mediante a expressão

n = 20\log\left(\frac{P}{P_0}\right),

sendo P_0 = 2 \times 10^{-5}\ \text{N/m}^2 uma constante, denominada limiar de percepção do ouvido humano.

Durante uma fiscalização, foi medido, por um decibelímetro, que o ruído proveniente de um carro, com seu som automotivo ligado, atingiu um nível de pressão sonora de 80 dB.

A pressão sonora, em newton por metro quadrado, proveniente desse ruído foi igual a

  1. A
    8 \times 10^{-5}
  2. B
    5 \times 10^{-2}
  3. C
    2 \times 10^{-1}
  4. D
    1 \times 10^3
  5. E
    2 \times 10^9
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Resolução comentada

A relação dada é logarítmica: o nível n é 20 vezes o logaritmo (base 10) da razão entre a pressão P e o limiar P_0. Para achar P, basta desfazer o logaritmo.

  1. Substitua n = 80:
80 = 20\log\left(\frac{P}{P_0}\right)
  1. Divida os dois lados por 20:
\log\left(\frac{P}{P_0}\right) = 4
  1. Pela definição de logaritmo, \log x = 4 significa x = 10^4. Logo:
\frac{P}{P_0} = 10^4
  1. Isole P e use P_0 = 2 \times 10^{-5}:
P = 10^4 \cdot 2 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{4-5} = 2 \times 10^{-1}\ \text{N/m}^2

Portanto, a pressão sonora do ruído foi 0{,}2\ \text{N/m}^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AToma P/P_0 = 4 (o valor do logaritmo) em vez de 10^4, obtendo 4 \times 2\times10^{-5}.
  • BNão corresponde a nenhuma etapa correta; resulta de erro de conta com as potências de 10.
  • DUsa P/P_0 = 10^4 mas divide por P_0 em vez de multiplicar (ou erra o expoente), sem chegar a 10^{-1}.
  • EDivide 10^4 por 2\times10^{-5}, em vez de multiplicar, obtendo 5\times10^{8} ou valor próximo; erro ao isolar P.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Notação científica e ordem de grandeza.

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