Questão 151 do ENEM PPL 2024

Question

Na construção de um avião de papel, uma criança dobrou uma folha retangular sobrepondo o lado DC ao lado AB. Assim, ela obteve dois novos retângulos, sendo um deles o retângulo DCNM, conforme a figura 1. Em seguida, ela fez uma nova dobradura, mantendo N fixo e sobrepondo o lado CN, de DCNM, a um segmento de MN. Essa sobreposição determinou um ponto P em MN e também um ponto Q em DC, conforme a figura 2.

Esquemas de dobraduras em duas etapas: na Figura 1, a folha retangular ABCD é dobrada ao meio ao longo do segmento tracejado MN unindo DC a AB, resultando no retângulo DCNM; na Figura 2, o canto direito do retângulo DCNM é dobrado mantendo N fixo e sobrepondo o lado CN ao segmento PN sobre MN, formando um triângulo NPQ adjacente ao retângulo DMPQ remanescente.

Considerando as classificações quanto à medida dos ângulos e à medida dos lados, o triângulo NPQ é

A
acutângulo e escaleno.
B
acutângulo e isósceles não equilátero.
C
acutângulo e equilátero.
D
retângulo e escaleno.
E
retângulo e isósceles não equilátero.

Answer 1

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Questão 151 do ENEM PPL 2024

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na construção de um avião de papel, uma criança dobrou uma folha retangular sobrepondo o lado DC ao lado AB. Assim, ela obteve dois novos retângulos, sendo um deles o retângulo DCNM, conforme a figura 1. Em seguida, ela fez uma nova dobradura, mantendo N fixo e sobrepondo o lado CN, de DCNM, a um segmento de MN. Essa sobreposição determinou um ponto P em MN e também um ponto Q em DC, conforme a figura 2.

Esquemas de dobraduras em duas etapas: na Figura 1, a folha retangular ABCD é dobrada ao meio ao longo do segmento tracejado MN unindo DC a AB, resultando no retângulo DCNM; na Figura 2, o canto direito do retângulo DCNM é dobrado mantendo N fixo e sobrepondo o lado CN ao segmento PN sobre MN, formando um triângulo NPQ adjacente ao retângulo DMPQ remanescente.

Considerando as classificações quanto à medida dos ângulos e à medida dos lados, o triângulo NPQ é

A
acutângulo e escaleno.
B
acutângulo e isósceles não equilátero.
C
acutângulo e equilátero.
D
retângulo e escaleno.
E
retângulo e isósceles não equilátero.

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Resolução comentada

O retângulo DCNM tem CN perpendicular a MN, ou seja, o ângulo em C é reto. Na segunda dobra, N fica fixo e o lado CN cai sobre MN. O ponto C vai para o ponto P de MN, e a dobra é o segmento NQ.

Uma dobradura preserva medidas e ângulos. Portanto o triângulo NCQ (parte dobrada) é congruente ao triângulo NPQ (sua posição final).

O ângulo em C era 90^\circ, então o ângulo N\hat{P}Q = 90^\circ. O triângulo NPQ é retângulo em P.
A dobra leva CN sobre PN, então PN = CN. Além disso, o segmento NQ é a dobra e PQ = CQ.
A linha NP está sobre MN e CN é perpendicular a MN. Logo o ângulo C\hat{N}P = 90^\circ, e a dobra NQ é a bissetriz desse ângulo. Então P\hat{N}Q = 45^\circ.
Com ângulos de 90^\circ e 45^\circ, o terceiro ângulo é 45^\circ. Assim N\hat{Q}P = 45^\circ.
Dois ângulos iguais significam dois lados iguais: PQ = PN. Os lados PQ e PN são os catetos, e NQ é a hipotenusa, maior que eles.

O triângulo tem ângulos 90^\circ, 45^\circ e 45^\circ. Ele é retângulo, com dois lados iguais e o terceiro diferente: isósceles não equilátero.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO triângulo tem um ângulo reto, então não é acutângulo, e tem dois lados iguais, então não é escaleno.
BAcerta o isósceles, mas erra ao chamá-lo de acutângulo: há um ângulo de 90° em P.
CUm triângulo equilátero teria três ângulos de 60°, o que não ocorre aqui.
DÉ retângulo, mas os catetos PQ e PN são iguais, então não é escaleno.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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