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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 179 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Em uma sala escura há um ponto luminoso, a mais de 3 metros de distância de uma parede, e um disco pendurado, paralelo à parede, entre ela e o ponto luminoso. O disco encontra-se a 1 metro de distância do ponto luminoso, projetando uma sombra S_1, em formato de círculo, na parede. Esse disco é afastado mais 2 m do ponto luminoso, em direção à sombra e sem encostar na parede, projetando outra sombra S_2, também no formato de um círculo.

Sejam A_1 a área de S_1 e A_2 a área de S_2.

O valor de \frac{A_1}{A_2} é

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    9.
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Resolução comentada

Como o disco é paralelo à parede, os raios de luz formam um cone com vértice no ponto luminoso. O disco e a sombra são seções paralelas desse cone, então são figuras semelhantes: a razão entre os raios é igual à razão entre as distâncias ao ponto luminoso.

Seja r o raio do disco e D a distância do ponto luminoso à parede (fixa).

  1. Na primeira posição, o disco está a 1 m do ponto: raio da sombra R_1 = r\cdot\dfrac{D}{1}=rD.
  2. Depois de afastado mais 2 m, o disco está a 1+2=3 m do ponto: raio da sombra R_2 = r\cdot\dfrac{D}{3}.

A razão entre os raios é:

\frac{R_1}{R_2}=\frac{rD}{rD/3}=3

Como a área do círculo é proporcional ao quadrado do raio (A=\pi R^2):

\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2=3^2=9

O dado "a mais de 3 m da parede" só garante que o disco (a 3 m) não encosta na parede, e o valor de D se cancela na razão.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem para na razão das distâncias (3) sem elevar ao quadrado para passar de comprimento para área.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asupõe que a sombra não muda de tamanho quando o disco se afasta do ponto luminoso.
  • Bnão corresponde a nenhuma relação de semelhança do problema; a razão dos raios é 3, não 2.
  • Cusa a razão entre os raios (3) e esquece que a área varia com o quadrado.
  • Dusa uma razão 2 entre os raios, confundindo o afastamento de 2 m com a razão das distâncias (que é 3).

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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