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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 178 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Inequações e desigualdades

Estudantes de psicologia experimental estão analisando um modelo matemático que foi desenvolvido a partir de um experimento com pombos. Nesse experimento, um alimento considerado como uma recompensa reforçadora era fornecido em quantidades (Q) para as aves, com a possibilidade de atraso no tempo de entrega.

O modelo matemático que relaciona os valores reforçadores V_1 e V_2 de duas recompensas em função de suas respectivas quantidades Q_1 e Q_2 e de seus respectivos tempos de atraso T_1 e T_2 na disponibilização de cada uma delas é

\frac{V_1}{V_2} = \frac{Q_1}{Q_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}

Ao analisarem o caso em que a quantidade Q_1 é o dobro da quantidade Q_2, cinco estudantes fizeram as seguintes afirmações sobre em que condição o valor V_1 será maior que o valor V_2:

  • estudante 1: sempre, pois Q_1 é o dobro de Q_2;
  • estudante 2: apenas quando a razão entre T_2 e T_1 for maior que 0{,}5;
  • estudante 3: apenas quando a razão entre T_2 e T_1 for menor que 0{,}5;
  • estudante 4: apenas quando T_1 for igual a T_2;
  • estudante 5: apenas quando a razão entre T_2 e T_1 for maior que 0{,}5 e menor que 1.

Qual estudante fez a afirmação correta?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5
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Resolução comentada

O modelo diz que a razão entre os valores reforçadores é o produto da razão das quantidades pela razão inversa dos atrasos. Queremos V_1 > V_2, ou seja, \frac{V_1}{V_2} > 1 (os valores são positivos).

Como Q_1 = 2Q_2, temos \frac{Q_1}{Q_2} = 2. Substituindo:

  1. \frac{V_1}{V_2} = 2 \cdot \frac{T_2}{T_1}
  2. Impondo \frac{V_1}{V_2} > 1: 2 \cdot \frac{T_2}{T_1} > 1
  3. Dividindo por 2: \frac{T_2}{T_1} > \frac{1}{2} = 0{,}5

Logo, V_1 é maior que V_2 exatamente quando a razão entre T_2 e T_1 é maior que 0{,}5, sem limite superior. Isso inclui T_2/T_1 = 1 (atrasos iguais, em que V_1/V_2 = 2) e valores maiores que 1 (quando T_1 < T_2, a vantagem de V_1 só aumenta).

Conferindo os estudantes: o 1 erra, pois se T_1 for muito grande, T_2/T_1 fica pequeno e V_1 pode ser menor. O 3 inverte a desigualdade. O 4 restringe a um caso só. O 5 impõe um limite superior (menor que 1) que não existe. Só o estudante 2 descreve a condição completa.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora o efeito do atraso: com T_1 muito maior que T_2, V_1 pode ser menor que V_2.
  • Cinverte a desigualdade; T_2/T_1<0{,}5 dá V_1<V_2.
  • DT_1=T_2 é só um caso particular; V_1>V_2 também ocorre com outros valores de atraso.
  • Eimpõe um limite superior (menor que 1) sem base: para T_2/T_1\geq 1, V_1 continua maior que V_2.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Razão e proporção.

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