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Questão 147 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Segundo regras da Fifa, em um campo de futebol, a área penal é a região limitada pelo retângulo ABCD, indicado na figura, cujo lado AB mede, aproximadamente, 16 m. O ponto penal P, equidistante dos lados AB e CD, fica localizado a 11 m do lado AD. O arco de circunferência, exterior à região penal, tem centro em P, e o raio mede, aproximadamente, 9 m.

Esquema de um campo de futebol visto de cima, destacando à esquerda a área penal retangular cinza ABCD. O ponto penal P está no interior dessa área penal. Sobre a linha BC, que limita a área penal, apoia-se um arco de circunferência exterior com extremidades em E e F.

Disponível em: www.cbf.com.br. Acesso em: 5 ago. 2008 (adaptado).

De acordo com as medidas especificadas no texto e na figura, a distância EF entre as extremidades do arco de círculo é

  1. A
    inferior a 7 m.
  2. B
    superior a 7 m e inferior a 14 m.
  3. C
    superior a 14 m e inferior a 19 m.
  4. D
    superior a 19 m e inferior a 23 m.
  5. E
    superior a 23 m.
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Resolução comentada

Pela figura, AD é o lado do retângulo ao longo da linha de fundo e BC é a linha paralela a ela, do lado do campo. Como AB = 16 m é o lado que liga essas duas linhas, a área penal tem 16 m de profundidade... mas o enunciado diz que P está a 11 m de AD e que o retângulo tem lado AB = 16 m, então AB é o lado horizontal da figura, ou seja, a distância entre AD e BC.

O ponto P está a 11 m de AD, logo fica a 16 - 11 = 5 m da linha BC.

O arco tem centro em P e raio 9 m. Os pontos E e F são onde a circunferência cruza a reta BC. Como P é equidistante de AB e CD, ele está no eixo de simetria, e E e F são simétricos em relação a ele.

  1. Distância de P à reta BC: d = 5 m.
  2. Triângulo retângulo formado por P, o pé da perpendicular M sobre BC e o ponto E: hipotenusa PE = 9 e cateto PM = 5.
  3. Cateto ME: ME = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} \approx 7{,}5 m.
  4. Como M é o ponto médio de EF: EF = 2 \cdot 7{,}5 \approx 15 m.

Portanto 14 < EF < 19.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula ME ≈ 7,5 m e esquece de dobrar, já que E e F são simétricos em relação a P.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • APara no valor de um lado do triângulo ou usa valores muito pequenos, sem chegar ao resultado de EF.
  • BToma só a metade ME ≈ 7,5 m e esquece de dobrar para obter EF.
  • DUsa a distância errada de P a BC (por exemplo 11 m) ou aproxima EF pelo diâmetro, dando valor maior.
  • EConsidera EF como o diâmetro de 18 m ou mais, ignorando que a corda está a 5 m do centro.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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