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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 141 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Após uma reforma, um clube decide comprar duchas para serem instaladas no vestiário. O tipo de ducha escolhida, segundo o fabricante, tem probabilidade igual a \frac{1}{10} de apresentar funcionamento irregular. O administrador do clube planeja adquirir uma certa quantidade dessas duchas, de forma que a probabilidade de que pelo menos uma das duchas adquiridas apresente funcionamento regular seja igual a, no mínimo, \frac{99}{100}.

A quantidade mínima de duchas que deverá ser adquirida para atender ao planejamento desse administrador é

  1. A
    2.
  2. B
    8.
  3. C
    9.
  4. D
    10.
  5. E
    11.
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Resolução comentada

Cada ducha tem probabilidade \frac{1}{10} de funcionar de forma irregular, então a probabilidade de funcionar de forma regular é \frac{9}{10}.\n\nO evento "pelo menos uma ducha regular" tem como complementar "todas as duchas irregulares". Com n duchas independentes:\n\n1. P(\text{todas irregulares}) = \left(\frac{1}{10}\right)^n.\n2. P(\text{pelo menos uma regular}) = 1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n.\n3. Exigimos 1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n \geq \frac{99}{100}.\n4. Isso equivale a \left(\frac{1}{10}\right)^n \leq \frac{1}{100} = \left(\frac{1}{10}\right)^2.\n5. Como a base \frac{1}{10} é menor que 1, a desigualdade vale para n \geq 2.\n\nConferindo com n=2: a probabilidade de as duas serem irregulares é \frac{1}{100}, então a de pelo menos uma regular é \frac{99}{100}, exatamente o mínimo exigido. Com n=1 seria só \frac{9}{10}, insuficiente.\n\nPortanto, a quantidade mínima é 2 duchas.\n\nAlternativa A.

Pegadinha: A alternativa D (10) engana quem associa a probabilidade 1/10 ao número de duchas, em vez de resolver a desigualdade com o evento complementar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem justificativa; resulta de confundir o expoente com outra condição, mas 8 é muito maior que o necessário.
  • CExagera o número de duchas; 9 duchas dariam probabilidade bem acima de 99/100.
  • DConfunde o denominador 10 da probabilidade com a quantidade de duchas.
  • ESoma 1 ao denominador 10 sem base no cálculo; excede muito o mínimo.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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