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Questão 142 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Na modelagem e no estudo de fenômenos periódicos, em geral, os modelos associados fazem uso de funções trigonométricas. Nesse sentido, considere um experimento, realizado em laboratório, em que uma planta foi colocada em uma estufa, onde a temperatura é controlável. O experimento consiste em observar alterações nas características dessa planta ao ser submetida a variações de temperatura. Durante 24 horas, a temperatura T(x) da estufa variou de acordo com a função T(x)=20-10\sen\left(\pi\cdot\frac{x}{4}\right), em que x é medido em hora, variando no intervalo 0\leq x\leq 24.

Durante esse experimento, quantas vezes a temperatura na estufa atingiu o seu valor mínimo?

  1. A
    1
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    7
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Resolução comentada

A temperatura é T(x)=20-10\sen\left(\frac{\pi x}{4}\right). Como o seno vale no máximo 1, o menor valor de T ocorre quando o seno é máximo.

  1. Valor mínimo: T=20-10\cdot 1=10, quando \sen\left(\frac{\pi x}{4}\right)=1.

  2. O seno vale 1 quando o arco é \frac{\pi}{2}+2k\pi, com k inteiro.

  3. Igualando: \frac{\pi x}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi. Dividindo por \pi e multiplicando por 4: x=2+8k.

  4. Buscamos os valores de x em 0\leq x\leq 24:

  • k=0: x=2
  • k=1: x=10
  • k=2: x=18
  • k=3: x=26, que passa de 24 e não vale.

Outra forma de ver: o período é \frac{2\pi}{\pi/4}=8 horas. Em 24 horas há 3 períodos completos, e o mínimo ocorre uma vez por período, ou seja, 3 vezes (nas horas 2, 10 e 18).

Portanto, a temperatura atingiu o valor mínimo de 10 graus 3 vezes.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só o primeiro instante em que o mínimo ocorre, ignorando a repetição a cada período de 8 horas.
  • CConta 4 vezes, talvez somando um extremo (máximo, em x=6, 14, 22 ou início/fim) ou dividindo 24 por 6 em vez de usar o período 8.
  • DNão tem base: não corresponde a nenhuma contagem correta dos valores x=2+8k no intervalo.
  • EConfunde o número de vezes com o total de extremos ou usa um período errado, contando muito além de 3 ocorrências.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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