Questão 180 do ENEM PPL 2022

Question

Um cortador de grama elétrico tem o cabo plugado em uma tomada fixa rente ao solo plano de um gramado. O cabo de energia mede 5 metros, e o cortador tem uma lâmina que corta 1 metro de largura. Atualmente ele corta, portanto, uma região no formato de círculo de raio 6 m, como ilustra a figura. Pretende-se usar adicionalmente um cabo extensor, de modo que seja possível cortar uma região com o dobro da área que corta atualmente.

Esquema de um círculo cinza com centro em um ponto identificado como "Tomada". Do centro até a borda do círculo estende-se um segmento que representa o "Cabo", com comprimento indicado de 5 m, contínuo a um traço mais grosso até a borda representando o "Cortador de grama", com largura indicada de 1 m.

Qual a medida aproximada, em metro, do comprimento do cabo extensor?

A
12,0
B
8,5
C
6,0
D
3,0
E
2,5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 180 do ENEM PPL 2022

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Um cortador de grama elétrico tem o cabo plugado em uma tomada fixa rente ao solo plano de um gramado. O cabo de energia mede 5 metros, e o cortador tem uma lâmina que corta 1 metro de largura. Atualmente ele corta, portanto, uma região no formato de círculo de raio 6 m, como ilustra a figura. Pretende-se usar adicionalmente um cabo extensor, de modo que seja possível cortar uma região com o dobro da área que corta atualmente.

Esquema de um círculo cinza com centro em um ponto identificado como "Tomada". Do centro até a borda do círculo estende-se um segmento que representa o "Cabo", com comprimento indicado de 5 m, contínuo a um traço mais grosso até a borda representando o "Cortador de grama", com largura indicada de 1 m.

Qual a medida aproximada, em metro, do comprimento do cabo extensor?

A
12,0
B
8,5
C
6,0
D
3,0
E
2,5

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A região cortada é um círculo com centro na tomada. Seu raio é o comprimento do cabo mais a largura da lâmina: 5 + 1 = 6\ \text{m}.

A área atual é A = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\ \text{m}^2.

Queremos o dobro dessa área, ou seja, 72\pi\ \text{m}^2. Chamando de R o novo raio:

\pi R^2 = 72\pi
R^2 = 72
R = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 6 \cdot 1{,}41 = 8{,}5\ \text{m}

Esse novo raio já inclui a lâmina de 1 m. Então o cabo total (o original mais o extensor) deve medir 8{,}5 - 1 = 7{,}5\ \text{m}.

Como o cabo original tem 5 m, o extensor precisa ter:

7{,}5 - 5 = 2{,}5\ \text{m}

Dobrar a área multiplica o raio por \sqrt{2}, e não por 2. Por isso o acréscimo é pequeno. O raio passa de 6 m para cerca de 8,5 m, um aumento de 2,5 m, e esse aumento é todo o comprimento do extensor.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana: 8,5 m é o novo raio da região, não o extensor; é preciso subtrair o raio atual de 6 m.

Por que as outras alternativas estão erradas

Adobra o raio (6 m para 12 m), esquecendo que dobrar a área multiplica o raio por \sqrt{2}.
Bpara em R\approx 8{,}5 m, o novo raio, sem descontar os 6 m atuais.
Cusa o raio atual, 6 m, como se fosse o extensor.
Dcorresponde a aumentar o raio em cerca de metade, sem relação com o dobro da área.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Razão e proporção.

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