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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 158 do ENEM PPL 2022

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado. Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

Traçado de uma pista de automobilismo indicando cinco setores numerados de I a V com modificações propostas em linhas tracejadas, com medidas lineares e angulares para cada setor, e uma legenda diferenciando pista original e novo trecho na pista.

Pretende-se que a nova pista tenha extensão mais próxima que a da original após duas modificações. Os trechos em comum da pista original e da nova pista não serão alterados.

Utilize 3 como aproximação para \pi.

Para atender às condições apresentadas, quais setores deverão ser modificados?

  1. A
    I e V
  2. B
    II e III
  3. C
    II e V
  4. D
    III e IV
  5. E
    IV e V
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para cada setor, compare o comprimento do trecho original com o do novo trecho. Depois, escolha os dois setores cuja soma das variações fique mais próxima de zero. Use \pi = 3.

  1. Setor I: o original percorre 50 + h + 50 e o novo, só h. O novo trecho fica 100\ \text{m} menor.
  2. Setor II: o original percorre 400 + 300 = 700\ \text{m}. O novo é a hipotenusa de um triângulo retângulo 3-4-5 ampliado, \sqrt{400^2+300^2}=500\ \text{m}. A variação é de -200\ \text{m}.
  3. Setor III: o original é reto, com 480\ \text{m}. O novo é uma semicircunferência de diâmetro 480, ou seja, raio 240. Seu comprimento é \pi\cdot 240 = 720\ \text{m}. A variação é de +240\ \text{m}.
  4. Setor IV: o original é uma semicircunferência de diâmetro 360, com \pi\cdot 180 = 540\ \text{m}. O novo é reto, com 360\ \text{m}. A variação é de -180\ \text{m}.
  5. Setor V: o original é reto, com 200\ \text{m}. Os ângulos da base são de 60^\circ, então o triângulo é equilátero. O novo trecho tem dois lados de 200, ou seja, 400\ \text{m}. A variação é de +200\ \text{m}.

As variações são: I =-100, II =-200, III =+240, IV =-180, V =+200.

Somando os pares das alternativas:

  • I e V: +100
  • II e III: +40
  • II e V: 0
  • III e IV: +60
  • IV e V: +20

A menor diferença é 0, com os setores II e V, que se compensam.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas B e E ficam bem perto da original (+40 m e +20 m), mas só II e V dão variação exatamente nula.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma -100 + 200 = +100 m, deixando a pista 100 m maior que a original.
  • BSoma -200 + 240 = +40 m, próximo de zero, mas não o mais próximo.
  • DSoma +240 - 180 = +60 m de diferença.
  • ESoma -180 + 200 = +20 m, perto, mas ainda não zero.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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