Questão 174 do ENEM PPL 2021

Question

Considere que o modelo matemático utilizado no estudo da velocidade V, de uma partícula de um fluido escoando em um tubo, seja diretamente proporcional à diferença dos quadrados do raio R da secção transversal do tubo e da distância x da partícula ao centro da secção que a contém. Isto é, V(x) = K^2(R^2 - x^2), em que K é uma constante positiva.

O valor de x, em função de R, para que a velocidade de escoamento de uma partícula seja máxima é de

A
0.
B
R.
C
2R.
D
KR.
E
K^2R^2.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 174 do ENEM PPL 2021

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função quadrática

Considere que o modelo matemático utilizado no estudo da velocidade V, de uma partícula de um fluido escoando em um tubo, seja diretamente proporcional à diferença dos quadrados do raio R da secção transversal do tubo e da distância x da partícula ao centro da secção que a contém. Isto é, V(x) = K^2(R^2 - x^2), em que K é uma constante positiva.

O valor de x, em função de R, para que a velocidade de escoamento de uma partícula seja máxima é de

A
0.
B
R.
C
2R.
D
KR.
E
K^2R^2.

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Resolução comentada

A velocidade é dada por V(x) = K^2(R^2 - x^2), com K constante positiva e R o raio do tubo, que também é constante. Só x, a distância da partícula ao centro da secção, varia.\n\nComo K^2 > 0, o valor de V é maior quando o fator (R^2 - x^2) é maior. Esse fator é R^2 menos um número que nunca é negativo, pois x^2 \geq 0.\n\n1. Como x^2 \geq 0, temos R^2 - x^2 \leq R^2.\n2. A igualdade só ocorre quando x^2 = 0, isto é, x = 0.\n3. Nesse caso, V(0) = K^2R^2, que é o valor máximo.\n\nOutra forma de ver: V(x) é uma função quadrática com coeficiente de x^2 igual a -K^2 < 0, então a parábola tem concavidade para baixo. O máximo está no vértice, x_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{0}{-2K^2} = 0.\n\nFisicamente, a partícula que se move mais rápido é a do centro do tubo. Quanto mais perto da parede (x = R), menor a velocidade, que chega a V(R) = 0.\n\nAlternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bx = R é a parede do tubo, onde a velocidade é zero, o mínimo.
Cx = 2R fica fora do tubo e daria V negativo: V = -3K^2R^2.
Dx = KR não maximiza nada; V(KR) = K^2R^2(1-K^2) é menor que K^2R^2.
EK^2R^2 é o valor máximo da velocidade, não o valor de x que a produz.

Assunto: Função quadrática.

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