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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 157 do ENEM PPL 2021

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Um diretor esportivo organiza um campeonato no qual haverá disputa de times em turno e returno, isto é, cada time jogará duas vezes com todos os outros, totalizando 380 partidas a serem disputadas.

A quantidade de times (x) que faz parte desse campeonato pode ser calculada pela equação

  1. A
    x = 380 - x^2
  2. B
    x^2 - x = 380
  3. C
    x^2 = 380
  4. D
    2x - x = 380
  5. E
    2x = 380
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Resolução comentada

Com x times, cada um enfrenta os outros x-1 times. Como há turno e returno, cada time joga duas vezes contra cada adversário.

Veja a contagem de partidas:

  1. Em um único turno, o número de jogos é \binom{x}{2}=\dfrac{x(x-1)}{2}, pois o jogo A×B é o mesmo jogo B×A.
  2. Com turno e returno, o número de jogos dobra: 2\cdot\dfrac{x(x-1)}{2}=x(x-1).
  3. Esse total é igual a 380: x(x-1)=380.

Desenvolvendo:

x^2 - x = 380

Conferindo: x=20 dá 20\cdot 19=380. Ou seja, o campeonato tem 20 times, o que combina com o número de times de um campeonato brasileiro.

Outro jeito de pensar: cada um dos x times joga 2(x-1) partidas, o que dá 2x(x-1) participações. Como cada partida envolve dois times, ela foi contada duas vezes, então dividimos por 2 e chegamos ao mesmo resultado, x(x-1)=380.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem multiplica x por x e esquece que um time não joga contra si mesmo (falta o -x).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai x^2 de 380, o que não corresponde a nenhuma contagem de jogos.
  • CConta x^2 jogos, incluindo cada time contra si mesmo, o que não existe.
  • D2x-x=x não representa a contagem de confrontos entre pares de times.
  • EConsidera apenas dois jogos por time, sem levar em conta os x-1 adversários.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Equação do 2º grau.

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