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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 154 do ENEM PPL 2021

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Uma indústria recortou uma placa de metal no formato triangular ABC, conforme Figura 1, com lados 18, 14 e 12 cm.

Posteriormente, a peça triangular ABC foi dobrada, de tal maneira que o vértice B ficou sobre o segmento \overline{AC}, e o segmento \overline{DE} ficou paralelo ao lado \overline{AC}, conforme Figura 2.

Figura 1: Triângulo ABC

Figura 2: Triângulo ABC dobrado ao longo do segmento DE, com o vértice B sobre o lado AC

Sabe-se que, na Figura 1, o ângulo A\hat{C}B é menor que o ângulo C\hat{A}B e este é menor que o ângulo A\hat{B}C, e que os cortes e dobraduras foram executados corretamente pelas máquinas.

Nessas condições, qual é o valor da soma dos comprimentos, em centímetro, dos segmentos \overline{DB}, \overline{BE} e \overline{EC}?

  1. A
    19
  2. B
    20
  3. C
    21
  4. D
    23
  5. E
    24
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Resolução comentada

Primeiro, descubra qual lado mede quanto. Em um triângulo, o maior lado fica oposto ao maior ângulo. Como \hat{C} < \hat{A} < \hat{B}, temos AB < BC < AC em termos opostos: o lado oposto a \hat{C} é AB (menor), o oposto a \hat{A} é BC e o oposto a \hat{B} é AC (maior). Logo AB=12, BC=14 e AC=18.

Na dobra, D está em AB e E está em BC. O vértice B vai para cima de AC, e o segmento DE é o vinco. A dobra é uma reflexão, então o segmento DB (novo) é igual ao DB original, e BE (novo) é igual ao BE original.

Assim, na Figura 1:

  1. DB (após dobrar) = DB (antes) e BE (após dobrar) = BE (antes).
  2. DB + AD = AB = 12 (o ponto D divide o lado AB).
  3. BE + EC = BC = 14.

A soma pedida é DB + BE + EC. Usando o item 3: BE + EC = 14. Falta DB.

Como DE \parallel AC na Figura 2, o quadrilátero ADEC é um trapézio e o triângulo DBE dobrado tem \hat{DEB} = \hat{EBC} (alternos internos), e pela reflexão \hat{DEB} é igual ao ângulo original \hat{DEB} do triângulo. Isso torna DE paralelo a AC e faz AD = DB (pois \hat{DBA}=\hat{DAB} pelo mesmo raciocínio no vértice A). Então AD = DB = 6, metade de AB.

Pelo mesmo raciocínio, EC = BE = 7.

Soma: DB + BE + EC = 6 + 7 + 7 = 20.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai algum valor a mais, sem apoio na relação DB=6, BE=EC=7.
  • CUsa DB=7 ou troca os lados, obtendo 21.
  • DSoma valores errados, como DB=9, por atribuir os lados de forma incorreta.
  • EConfunde a associação lado-ângulo e usa medidas trocadas.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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