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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 175 do ENEM PPL 2020

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários.

Disponível em: www.sisgraph.com.br. Acesso em: 29 jan. 2015 (adaptado).

A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das três agentes serem distribuídas nos vagões é

  1. A
    C_4^3 + 3!
  2. B
    C_6^3
  3. C
    C_4^3 \times 3!
  4. D
    A_6^3
  5. E
    A_4^3 \times 3!
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Resolução comentada

Temos 6 vagões em fila e 3 agentes, e nenhum par de agentes pode ficar em vagões adjacentes. Cada vagão recebe no máximo uma agente.

Primeiro, contamos as escolhas de 3 vagões, sem levar em conta quem é cada agente, de modo que não haja dois vagões vizinhos.

Truque clássico: represente os vagões escolhidos por A (ocupado) e os não escolhidos por V (vazio). Há 3 vagões ocupados e 3 vazios. Os 3 vazios formam 4 "espaços" onde as agentes podem entrar, sem ficarem juntas:

\_\ V\ \_\ V\ \_\ V\ \_

Cada espaço recebe no máximo uma agente. Então escolhemos 3 dos 4 espaços:

C_4^3 = 4

Conferindo listando: {1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,6}, {2,4,6}. São 4 mesmo.

Agora, se as agentes forem distintas (pessoas diferentes), cada trio de vagões admite 3! maneiras de distribuí-las. Como o enunciado fala em "maneiras distintas das três agentes serem distribuídas", consideramos as agentes distinguíveis:

C_4^3 \times 3! = 4 \times 6 = 24

Isso equivale a A_4^3 = 24, mas a alternativa que traz a expressão correta é a que multiplica C_4^3 por 3!.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana por contar a ordem das agentes duas vezes (A_4^3 já inclui o 3!).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asoma C_4^3 com 3! em vez de multiplicar; as permutações valem para cada escolha de vagões.
  • BC_6^3 conta todos os trios de vagões, inclusive os com vagões adjacentes.
  • DA_6^3 ignora a restrição de não adjacência.
  • EA_4^3 \times 3! conta a ordem duas vezes, pois A_4^3 já inclui a permutação das agentes.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Permutações.

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