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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 173 do ENEM PPL 2020

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

A prefeitura de uma cidade está renovando os canteiros de flores de suas praças. Entre as possíveis variedades que poderiam ser plantadas, foram escolhidas cinco: amor-perfeito, cravina, petúnia, margarida e lírio. Em cada um dos canteiros, todos com composições diferentes, serão utilizadas somente três variedades distintas, não importando como elas serão dispostas.

Um funcionário deve determinar os trios de variedades de flores que irão compor cada canteiro.

De acordo com o disposto, a quantidade de trios possíveis é dada por

  1. A
    5
  2. B
    5 \cdot 3
  3. C
    \dfrac{5!}{(5 - 3)!}
  4. D
    \dfrac{5!}{(5 - 3)!2!}
  5. E
    \dfrac{5!}{(5 - 3)!3!}
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Resolução comentada

Como a ordem das flores dentro do canteiro não importa, cada trio é um subconjunto de 3 variedades escolhidas entre 5. Isso é uma combinação, e não um arranjo.

A fórmula da combinação de n elementos tomados p a p é:

C_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!\,p!}

O fator p! no denominador elimina as repetições: o mesmo trio, escrito em ordens diferentes, seria contado várias vezes no arranjo \frac{n!}{(n-p)!}.

Com n=5 e p=3:

  1. Arranjos (ordem importando): \dfrac{5!}{(5-3)!}=\dfrac{120}{2}=60.
  2. Cada trio aparece 3!=6 vezes nesses arranjos (são as 6 ordens possíveis das três flores).
  3. Portanto, o número de trios é \dfrac{60}{6}=10.

Em forma de expressão: \dfrac{5!}{(5-3)!\,3!}.

Essa expressão aparece na alternativa E.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece que a ordem não importa e usa arranjo, sem dividir por 3!.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AApenas repete o número de variedades, sem contar as escolhas de trios.
  • BMultiplica 5 por 3, o que não corresponde a nenhum princípio de contagem para esse problema.
  • CÉ o arranjo, que considera a ordem das flores e conta cada trio várias vezes (60 em vez de 10).
  • DDivide por 2! em vez de 3!; o fator correto é o fatorial do tamanho do grupo escolhido, 3.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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