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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 167 do ENEM PPL 2020

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas:

  • Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm;
  • Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm;
  • Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm;
  • Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm;
  • Mesa V: triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm.

A mesa que atende aos critérios especificados é a

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Resolução comentada

Para 6 pessoas com pelo menos 60 cm cada, o perímetro do tampo precisa ser de, no mínimo, 6 \times 60 = 360\ \text{cm}. Depois, entre as mesas que cumprem isso, escolhemos a de menor área.

Perímetro de cada mesa:

  1. Mesa I (hexágono regular): 6 \times 60 = 360\ \text{cm}. Serve.
  2. Mesa II (retângulo): 2(130+60) = 380\ \text{cm}. Serve.
  3. Mesa III (retângulo): 2(120+60) = 360\ \text{cm}. Serve.
  4. Mesa IV (quadrado): 4 \times 60 = 240\ \text{cm}. Não serve.
  5. Mesa V (triângulo equilátero): 3 \times 120 = 360\ \text{cm}. Serve.

Sobram I, II, III e V. Agora comparamos as áreas:

  • Mesa I: \dfrac{6\cdot 60^2\sqrt3}{4} = 5400\sqrt3 \approx 9353\ \text{cm}^2.
  • Mesa II: 130 \times 60 = 7800\ \text{cm}^2.
  • Mesa III: 120 \times 60 = 7200\ \text{cm}^2.
  • Mesa V: \dfrac{120^2\sqrt3}{4} = 3600\sqrt3 \approx 6235\ \text{cm}^2.

A menor área entre as que atendem ao perímetro é a da mesa V, com cerca de 6235\ \text{cm}^2.

Alternativa E.

Pegadinha: A mesa IV tem a menor área, mas seu perímetro (240 cm) é insuficiente; quem olha só a área cai nela.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO hexágono tem perímetro suficiente, mas sua área (≈ 9353 cm²) é a maior entre as mesas que servem.
  • BTem perímetro suficiente (380 cm), mas a área de 7800 cm² não é a menor.
  • CTem perímetro de 360 cm, mas sua área de 7200 cm² é maior que a do triângulo (≈ 6235 cm²).
  • DO perímetro de 240 cm não dá 60 cm para cada uma das 6 pessoas; a menor área não basta.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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