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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 154 do ENEM PPL 2020

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Projetado pelo arquiteto Oscar Niemeyer, o Museu de Arte Contemporânea (MAC) tornou-se um dos cartões-postais da cidade de Niterói (Figura 1).

Fotografia da fachada do Museu de Arte Contemporânea (MAC) de Niterói.

Considere que a forma da cúpula do MAC seja a de um tronco de cone circular reto (Figura 2), cujo diâmetro da base maior mede 50 m e 12 m é a distância entre as duas bases. A administração do museu deseja fazer uma reforma revitalizando o piso de seu pátio e, para isso, precisa estimar a sua área. (Utilize 1,7 como valor aproximado para \sqrt{3} e 3 para \pi).

Esquema da cúpula em formato de tronco de cone circular invertido com a base inferior sombreada com a inscrição Pátio e um ângulo de 60 graus formado pela geratriz inclinada com a linha horizontal na base inferior.

A medida da área do pátio do museu a ser revitalizada, em metro quadrado, está no intervalo

  1. A
    [100, 200]
  2. B
    [300, 400]
  3. C
    [600, 700]
  4. D
    [900, 1\ 000]
  5. E
    [1\ 000, 1\ 100]
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Resolução comentada

O pátio é a base menor do tronco de cone, um círculo. Precisamos do raio dele.

Na seção meridiana do tronco (um trapézio), a geratriz forma 60° com a horizontal da base menor. Traçando a altura (12 m), forma-se um triângulo retângulo. Nele, a altura é o cateto oposto ao ângulo de 60° e a diferença dos raios (R - r) é o cateto adjacente.

  1. Raio da base maior: R = 50 \div 2 = 25 m.

  2. Relação da tangente:

    \tg 60^\circ = \frac{12}{R-r} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{12}{R-r}

  3. Com \sqrt{3} \approx 1{,}7:

    R - r = \frac{12}{1{,}7} \approx 7{,}06\ \text{m}

    Para o cálculo exato, R-r = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt{3} \approx 4 \cdot 1{,}7 = 6{,}8 m. As duas formas levam ao mesmo intervalo, mas a segunda é a usual (racionalizando).

  4. Raio do pátio: r = 25 - 6{,}8 = 18{,}2 m.

  5. Área do pátio:

    A = \pi r^2 = 3 \cdot (18{,}2)^2 = 3 \cdot 331{,}24 \approx 993{,}7\ \text{m}^2

Esse valor está entre 900 e 1 000.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor muito pequeno; não corresponde a nenhum raio plausível do pátio.
  • BResulta de um raio bem menor, por erro no uso da tangente ou nos raios.
  • CVem de um raio em torno de 14 a 15 m, por confundir a diferença dos raios.
  • EUsa a área da base maior ou um raio maior que 18,3 m, passando de 1 000.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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