Questão 174 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:

(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.

Esboço do teto da sala em um plano cartesiano: eixo horizontal x, Comprimento da sala (m), e eixo vertical y, Largura da sala (m). A Câmera 1 está em (3, 1) e a Câmera 2 em (2, 4), com linhas tracejadas indicando suas coordenadas.

(ii) cinco relações entre as coordenadas (x\ ;\ y) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.

R1: y=x
R2: y=-3x+5
R3: y=-3x+10
R4: y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}
R5: y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{10}

O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera.

A relação escolhida pelo instalador foi a

  1. A
    R1.
  2. B
    R2.
  3. C
    R3.
  4. D
    R4.
  5. E
    R5.
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Resolução comentada

Os pontos equidistantes de dois pontos A e B formam a mediatriz do segmento AB: a reta que passa pelo ponto médio e é perpendicular ao segmento. A câmera 3 deve estar sobre essa reta.

As câmeras estão em C_1=(3;1) e C_2=(2;4).

  1. Ponto médio: M=\left(\dfrac{3+2}{2};\dfrac{1+4}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}\right).

  2. Coeficiente angular do segmento: m=\dfrac{4-1}{2-3}=\dfrac{3}{-1}=-3.

  3. A mediatriz é perpendicular, então seu coeficiente é o oposto do inverso: m'=\dfrac{1}{3}.

  4. Equação da reta por M: y-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{5}{2}\right), logo y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{10}{6}=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}.

Conferindo com a distância: em (1;2), que está em R4 (\frac13+\frac53=2), temos d_1^2=4+1=5 e d_2^2=1+4=5. Iguais, como esperado.

A relação é y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}, isto é, R4.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B (e a C) usa o coeficiente −3 do segmento entre as câmeras, enganando quem esquece que a mediatriz é perpendicular; a E acerta o coeficiente, mas erra a posição.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ay = x passa por (2,5; 2,5), mas não é perpendicular ao segmento; as distâncias às câmeras não são iguais.
  • Btem coeficiente −3, paralelo ao segmento entre as câmeras, e não perpendicular.
  • Ctambém tem coeficiente −3 (paralela ao segmento) e nem passa pelo ponto médio.
  • Etem o coeficiente 1/3 correto, mas o termo independente 1/10 não passa pelo ponto médio.

Assuntos: mediatriz, geometria analítica, retas perpendiculares.

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