Questão 175 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

No trapézio isósceles mostrado na figura a seguir, M é o ponto médio do segmento BC, e os pontos P e Q são obtidos dividindo o segmento AD em três partes iguais.

Trapézio isósceles ABCD com base menor BC no topo e base maior AD na base. O ponto M está no meio de BC, e os pontos P e Q estão sobre AD, dividindo-o em três partes iguais: AP, PQ e QD. Segmentos tracejados conectam B a P, M a P, M a Q e C a Q, dividindo o interior do trapézio em cinco triângulos.

Pelos pontos B, M, C, P e Q são traçados segmentos de reta, determinando cinco triângulos internos ao trapézio, conforme a figura.

A razão entre \overline{BC} e \overline{AD} que determina áreas iguais para os cinco triângulos mostrados na figura é

  1. A
    \dfrac{1}{3}
  2. B
    \dfrac{2}{3}
  3. C
    \dfrac{2}{5}
  4. D
    \dfrac{3}{5}
  5. E
    \dfrac{5}{6}
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Resolução comentada

Os cinco triângulos são: ABP e QCD (nas laterais), BMP e MCQ (com base em BC) e o triângulo MPQ (com base PQ na base maior).

Todos têm a mesma altura h do trapézio, pois seus vértices estão nas duas bases. Como a área é \frac{\text{base}\cdot h}{2}, áreas iguais exigem bases iguais.

  1. Seja AD = 3x. Então AP = PQ = QD = x.
  2. Os triângulos ABP, MPQ e QCD têm bases AP, PQ e QD, todas iguais a x. Suas áreas já são iguais, cada uma \frac{x\cdot h}{2}.
  3. Os triângulos BMP e MCQ têm bases BM e MC, cada uma igual a \frac{BC}{2}. Para terem a mesma área dos outros, precisamos de \frac{BC}{2} = x, logo BC = 2x.
  4. A razão é \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{2x}{3x} = \dfrac{2}{3}.

Conferindo: com BC = 2x, BM = MC = x, e os cinco triângulos têm base x e altura h, portanto áreas iguais.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AFaz BC igual a um terço de AD, ou seja, BC = x, então BM = x/2 e os triângulos BMP e MCQ ficariam com metade da área dos outros.
  • CNão corresponde a nenhuma igualdade de bases; BM seria 0,2·AD, menor que PQ.
  • DDaria BM = 0,3·AD, menor que x = AD/3, então as áreas não seriam iguais.
  • EDaria BM = 5x/6, maior que x, deixando BMP e MCQ com área maior que os demais.

Assuntos: áreas de triângulos, razão entre segmentos, trapézio.

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