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Questão 167 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função exponencial

Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t) = N_0\text{e}^{kt}, em que N_0 é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva.

Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.

Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi

  1. A
    3N_0
  2. B
    15N_0
  3. C
    243N_0
  4. D
    360N_0
  5. E
    729N_0
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Resolução comentada

O modelo é N(t) = N_0 e^{kt}. O número de bactérias é multiplicado por um fator fixo a cada hora, e é esse fator que precisamos descobrir.

  1. Após 1 hora o número triplicou: N(1) = 3N_0.
  2. Substituindo no modelo: N_0 e^{k\cdot 1} = 3N_0, logo e^{k} = 3.
  3. Para t = 5: N(5) = N_0 e^{5k}.
  4. Usando a propriedade de potência: e^{5k} = (e^{k})^5 = 3^5.
  5. Calculando: 3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 243.

Assim, N(5) = 243N_0.

Cinco horas após o início, a população é 243 vezes a inicial, pois triplicar cinco vezes seguidas equivale a multiplicar por 3^5.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem multiplica 3 por 5 (crescimento linear) em vez de elevar 3 à quinta potência.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só o fator de uma hora, esquecendo que o triplo se repete a cada hora.
  • Bcalcula 3\cdot 5 = 15, tratando o crescimento como linear e não exponencial.
  • Dnão corresponde a nenhuma potência de 3; valor sem base no cálculo.
  • Eusa 3^6 = 729, contando seis triplicações em vez de cinco.

Assuntos: Função exponencial, Potenciação e radiciação.

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