Questão 168 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares.

Bloco com formato semelhante a um paralelepípedo com uma cavidade ou depressão retangular em sua face superior

Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?

  1. A
    V + F = A
  2. B
    V + F = A - 1
  3. C
    V + F = A + 1
  4. D
    V + F = A + 2
  5. E
    V + F = A + 3
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Resolução comentada

O poliedro é um paralelepípedo com uma cavidade retangular na face superior. Vamos contar vértices, faces e arestas.

Faces:

  • Paralelepípedo externo: 4 laterais + 1 base inferior = 5 faces.
  • Face superior: um retângulo com um "buraco" retangular, contada como 1 face.
  • Cavidade: 4 paredes laterais + 1 fundo = 5 faces.

Total: F = 5 + 1 + 5 = 11.

Vértices:

  • Paralelepípedo externo: 8.
  • Borda da cavidade, na face superior: 4.
  • Fundo da cavidade: 4.

Total: V = 8 + 4 + 4 = 16.

Arestas:

  • Paralelepípedo externo: 12.
  • Borda da cavidade, na face superior: 4.
  • Fundo da cavidade: 4.
  • Arestas verticais da cavidade, ligando a borda ao fundo: 4.

Total: A = 12 + 4 + 4 + 4 = 24.

Relação:

V + F = 16 + 11 = 27
A = 24 \Rightarrow V + F = A + 3

A relação de Euler usual (A + 2) não vale aqui, porque o poliedro não é convexo: a face superior tem um buraco.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem aplica automaticamente a relação de Euler, esquecendo que o poliedro não é convexo e a face superior tem um buraco.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá V+F=A, resultado que não corresponde à contagem correta (27 contra 24).
  • BDaria V+F=23, valor que não sai de nenhuma contagem correta de V, F e A.
  • CDaria V+F=25, o que exigiria contar menos vértices ou faces do que existem.
  • DÉ a relação de Euler para poliedros convexos, que não vale para este poliedro, cuja face superior tem um buraco.

Assuntos: relação de Euler, poliedros, geometria espacial.

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