Questão 138 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

Uma formiga encontra-se no ponto X, no lado externo de um copo que tem a forma de um cilindro reto. No lado interno, no ponto V, existe um grão de açúcar preso na parede do copo. A formiga segue o caminho XYZWV (sempre sobre a superfície lateral do copo), de tal forma que os trechos ZW e WV são realizados na superfície interna do copo. O caminho XYZWV é mostrado na figura.

Cilindro representando um copo com a trajetória da formiga pelos pontos X, Y, Z, W até V, e a linha de corte indicada pelos pontos P e Q

Sabe-se que: os pontos X, V, W se encontram à mesma distância da borda; o trajeto WV é o mais curto possível; os trajetos XY e ZW são perpendiculares à borda do copo; e os pontos X e V se encontram diametralmente opostos.

Supondo que o copo é de material recortável, realiza-se um corte pelo segmento unindo P a Q, perpendicular à borda do copo, e recorta-se também sua base, obtendo então uma figura plana. Desconsidere a espessura do copo.

Considerando apenas a planificação da superfície lateral do copo, a trajetória da formiga é

  1. A
    Planificação retangular com a borda superior reta e o trajeto da formiga
  2. B
    Planificação com bordas curvas e o trajeto da formiga com V à esquerda de W
  3. C
    Planificação retangular invertida de cabeça para baixo
  4. D
    Planificação com bordas curvas e o trajeto da formiga com V à direita de W
  5. E
    Planificação com bordas curvas invertida de cabeça para baixo
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Resolução comentada

Um cilindro reto tem superfície lateral que, ao ser cortada e aberta, vira um retângulo. As bordas circulares viram segmentos retos e paralelos. Se a lateral fosse aberta como um arco, as bordas seriam curvas, o que não acontece com um cilindro. Isso elimina as alternativas com bordas curvas (B, D e E).

Restam A e C, que diferem pela orientação: em C a figura está de cabeça para baixo (as letras aparecem invertidas), então a borda superior do copo, onde ficam Y e Z, está embaixo. Como o corte PQ é feito com a borda de cima do copo para cima, a planificação deve manter a borda superior em cima.

Conferindo o trajeto na alternativa A:

  1. X e V estão à mesma distância da borda que W, portanto X, W e V ficam na mesma altura.
  2. XY é perpendicular à borda: segmento vertical de X até Y na borda.
  3. YZ percorre a borda, na horizontal.
  4. ZW é perpendicular à borda: vertical, descendo até W, com a mesma profundidade de X.
  5. WV é o mais curto possível. Como W e V estão na mesma altura, o caminho mais curto na planificação é o segmento horizontal.

Como X e V são diametralmente opostos, ficam separados por meia volta, e V fica à direita de W, como aparece em A. Tudo bate com a figura A.

Alternativa A.

Pegadinha: As figuras B, D e E usam bordas curvas para enganar quem confunde a planificação do cilindro com a do cone, e C inverte a figura.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bas bordas curvas só ocorreriam em um tronco de cone; no cilindro a planificação é um retângulo, e V aparece do lado errado de W.
  • Co retângulo está de cabeça para baixo, com a borda superior (Y, Z) embaixo.
  • Dtem bordas curvas, incompatíveis com a planificação de um cilindro.
  • Etem bordas curvas e ainda está invertida.

Assuntos: planificação de sólidos, cilindro.

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