Questão 137 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

Uma empresa de transporte disponibiliza, para embalagem de encomendas, caixas de papelão no formato de paralelepípedo retoretângulo, conforme dimensões no quadro.

Modelo da caixa Comprimento (cm) Largura (cm) Altura (cm)
1 12 12 13
2 23 20 25
3 25 25 25
4 26 25 24
5 23 26 26

Para embalar uma encomenda, contendo um objeto esférico com 11\text{ cm} de raio, essa empresa adota como critério a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda e que possua a menor área de superfície total.

Desconsidere a espessura da caixa.

Nessas condições, qual dos modelos apresentados deverá ser o escolhido pela empresa?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5
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Resolução comentada

A esfera tem raio 11\ \text{cm}, então seu diâmetro é 22\ \text{cm}. Para caber na caixa, as três dimensões (comprimento, largura e altura) precisam ser maiores ou iguais a 22\ \text{cm}.

Testando cada modelo:

  • Modelo 1: 12 \times 12 \times 13. Não cabe.
  • Modelo 2: largura 20 < 22. Não cabe.
  • Modelo 3: 25 \times 25 \times 25. Cabe.
  • Modelo 4: 26 \times 25 \times 24. Cabe.
  • Modelo 5: 23 \times 26 \times 26. Cabe.

Agora calculamos a área total, A = 2(ab + ac + bc), dos modelos que servem:

  1. Modelo 3: 2(625 + 625 + 625) = 2 \cdot 1875 = 3750\ \text{cm}^2.
  2. Modelo 4: ab = 650, ac = 624, bc = 600; soma 1874; área = 3748\ \text{cm}^2.
  3. Modelo 5: ab = 598, ac = 598, bc = 676; soma 1872; área = 3744\ \text{cm}^2.

A menor área entre as caixas que comportam a esfera é a do modelo 5, com 3744\ \text{cm}^2.

Alternativa E.

Pegadinha: As áreas dos modelos 3, 4 e 5 são quase iguais (3750, 3748 e 3744 cm²); quem compara só o volume ou escolhe a caixa "mais justa" pode errar, então é preciso calcular as três áreas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASuas dimensões (12, 12 e 13) são menores que o diâmetro de 22 cm, então a esfera não cabe.
  • BA largura de 20 cm é menor que o diâmetro de 22 cm, então a esfera não cabe.
  • CA esfera cabe, mas a área é 3750 cm², maior que a do modelo 5.
  • DA esfera cabe, mas a área é 3748 cm², maior que a do modelo 5.

Assuntos: área de superfície do paralelepípedo, esfera inscrita em caixa.

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