Questão 177 do ENEM PPL 2018

2º dia · Matemática

Uma torneira do tipo \frac{1}{4} de volta é mais econômica, já que seu registro abre e fecha bem mais rapidamente do que o de uma torneira comum. A figura de uma torneira do tipo \frac{1}{4} de volta tem um ponto preto marcado na extremidade da haste de seu registro, que se encontra na posição fechado, e, para abri-lo completamente, é necessário girar a haste \frac{1}{4} de volta no sentido anti-horário. Considere que a haste esteja paralela ao plano da parede.

Torneira metálica diante de uma parede plana, com seta indicando a parede e outra seta indicando a haste do registro, na qual há um ponto preto marcado em sua extremidade superior.

Disponível em: www.furkin.com.br. Acesso em: 13 nov. 2014.

Qual das imagens representa a projeção ortogonal, na parede, da trajetória traçada pelo ponto preto quando o registro é aberto completamente?

  1. A
    Arco de circunferência correspondente a um quarto de volta
  2. B
    Segmento de reta inclinado para a direita e para cima
  3. C
    Dois segmentos de reta perpendiculares formando um canto reto na parte superior esquerda
  4. D
    Linha poligonal formada por dois segmentos inclinados consecutivos
  5. E
    Segmento de reta horizontal
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Resolução comentada

Na figura, a torneira sai da parede e a haste do registro fica paralela ao plano da parede. Quando a haste gira, o ponto preto descreve um arco de circunferência (um quarto de volta) que está em um plano paralelo à parede.

A projeção ortogonal sobre um plano projeta cada ponto por uma perpendicular a esse plano. Se a figura está em um plano paralelo ao plano de projeção, a projeção é congruente à figura original: o comprimento e a forma são preservados.

  1. A trajetória do ponto preto é um arco de circunferência de 90^\circ, com centro no eixo do registro.
  2. O plano desse arco é paralelo à parede, pois a haste é paralela a ela.
  3. A projeção ortogonal na parede é, então, um arco de circunferência de 90^\circ, sem deformação.

O ponto parte da posição superior (fechado) e gira no sentido anti-horário até a posição da esquerda, e a projeção é um arco curvo. Os segmentos de reta (B, E) só apareceriam se o plano da trajetória fosse perpendicular à parede, visto de lado. Os itens C e D são figuras poligonais, que não correspondem a uma circunferência.

O arco de um quarto de circunferência é a alternativa A.

Alternativa A.

Pegadinha: O aluno pode achar que a projeção "achata" a curva em um segmento (E ou B), esquecendo que o plano da rotação é paralelo à parede e, portanto, não sofre deformação.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bum segmento inclinado só resultaria de um plano de rotação oblíquo à parede, o que não ocorre, pois a haste é paralela à parede.
  • Cdois segmentos perpendiculares seriam o percurso de um ponto que anda em linha reta duas vezes, não de um ponto que gira.
  • Duma poligonal não representa uma trajetória circular; a rotação gera curva, não segmentos.
  • Eum segmento horizontal só apareceria se a rotação fosse vista de perfil, com o plano da trajetória perpendicular à parede.

Assuntos: projeção ortogonal, geometria espacial, circunferência.

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