Questão 142 do ENEM PPL 2018

2º dia · Matemática

As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA – mixed martial arts, são realizadas num octógono regular. De acordo com a figura, em certo momento os dois lutadores estão respectivamente nas posições G e F, e o juiz está na posição I. O triângulo IGH é equilátero e G\hat{I}F é o ângulo formado pelas semirretas com origem na posição do juiz, respectivamente passando pelas posições de cada um dos lutadores.

Octógono regular com vértices de A a H e um triângulo equilátero IGH destacado em tom mais escuro em seu interior.

A medida do ângulo G\hat{I}F é

  1. A
    120^\circ
  2. B
    75^\circ
  3. C
    67{,}5^\circ
  4. D
    60^\circ
  5. E
    52{,}5^\circ
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Resolução comentada

Um octógono regular tem ângulo interno \frac{(8-2)\cdot 180^\circ}{8}=135^\circ.

O triângulo IGH é equilátero, então H\hat{G}I = 60^\circ e GH é um lado do octógono, com GH = GI = HI.

No vértice G, o ângulo interno do octógono é F\hat{G}H = 135^\circ. Como I está dentro do octógono, o ângulo F\hat{G}I é a diferença:

F\hat{G}I = 135^\circ - 60^\circ = 75^\circ.

Como GI = GH e GH = GF (lados do octógono regular), temos GI = GF. Logo o triângulo GIF é isósceles de vértice G, com ângulo do vértice 75^\circ.

Os ângulos da base são iguais:

G\hat{I}F = \dfrac{180^\circ - 75^\circ}{2} = \dfrac{105^\circ}{2} = 52{,}5^\circ.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B (75°) engana: é o ângulo em G do triângulo GIF, e não o ângulo em I pedido.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde com o ângulo externo/central de outro polígono; não tem relação com o triângulo GIF.
  • BÉ o ângulo F\hat{G}I (135° − 60°), que é o ângulo do vértice G, não o pedido em I.
  • CResulta de divisão incorreta do ângulo de 135° por 2, ignorando o triângulo equilátero.
  • DÉ o ângulo interno do triângulo equilátero, não o ângulo GIF.

Assuntos: polígonos regulares, triângulo isósceles, ângulos.

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