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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 153 do ENEM PPL 2017

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Poliedros e relação de Euler

O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes às faces.

Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a

  1. A
    10.
  2. B
    12.
  3. C
    25.
  4. D
    42.
  5. E
    50.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para poliedros convexos vale a relação de Euler: V - A + F = 2, em que V é o número de vértices, A o de arestas e F o de faces.

O enunciado informa que o poliedro tem A = 30 arestas e V = 20 vértices. Falta descobrir F, o número de faces, que é a quantidade de polígonos usados na montagem.

  1. Escreva a relação: V - A + F = 2.
  2. Substitua os valores: 20 - 30 + F = 2.
  3. Simplifique: -10 + F = 2.
  4. Isole F: F = 2 + 10 = 12.

Conferindo: 20 - 30 + 12 = 2, o que confirma o resultado.

Logo, o modelo foi montado com 12 polígonos.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa V - A + F = 0 ou erra o sinal, obtendo F=10 em vez de 12.
  • CNão corresponde a nenhuma aplicação correta da relação de Euler; é um valor sem base no cálculo.
  • DCalcula V + A - 8 ou algo semelhante, esquecendo que Euler subtrai as arestas.
  • ESoma vértices e arestas (20+30=50) sem aplicar a relação de Euler.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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