Questão 149 do ENEM PPL 2017

2º dia · Matemática

Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado).

Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a

  1. A
    26^3 + 9^4
  2. B
    26^3 \times 9^4
  3. C
    26^3(10^4 - 1)
  4. D
    (26^3 + 10^4) - 1
  5. E
    (26^3 \times 10^4) - 1
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Use o princípio multiplicativo: quando uma escolha é feita em etapas independentes, multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa.

  1. Três primeiras posições, letras: 26\times 26\times 26 = 26^3 possibilidades.
  2. Quatro últimas posições, algarismos de 0 a 9: 10^4 possibilidades, contando também a sequência 0000.
  3. A restrição diz que não se usa placa com todos os algarismos iguais a zero. Isso elimina só a sequência 0000 na parte numérica. Ficam 10^4 - 1 possibilidades para os algarismos.
  4. Cada uma das 26^3 combinações de letras pode ser associada a cada uma dessas 10^4-1 sequências de algarismos. Então:
26^3\times(10^4-1)

Atenção: a exclusão vale para cada trio de letras. Por isso o -1 fica dentro do parêntese, multiplicado por 26^3. Subtrair 1 do total, como em (26^3\times10^4)-1, tiraria só uma placa, e não as 26^3 placas com 0000.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana: subtrair 1 do total parece natural, mas a restrição elimina 0000 para cada combinação de letras, então o -1 deve ficar multiplicado por 26^3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asoma em vez de multiplicar e usa 9 algarismos, erroneamente.
  • Busa 9 opções por algarismo, excluindo o zero de todas as posições, e não apenas a sequência 0000.
  • Dsoma as possibilidades de letras e algarismos em vez de multiplicar.
  • Esubtrai só uma placa do total, mas seria preciso excluir 26^3 placas (uma sequência 0000 para cada trio de letras).

Assuntos: princípio multiplicativo, análise combinatória.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 149 no caderno Azul do ENEM PPL 2017

Nos cadernos: Amarelo 179Cinza 161Azul 149Rosa 140Amarelo 161