Questão 178 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

Em um campeonato de futebol, a vitória vale 3 pontos, o empate 1 ponto e a derrota zero ponto. Ganha o campeonato o time que tiver maior número de pontos. Em caso de empate no total de pontos, os times são declarados vencedores.

Os times R e S são os únicos com chance de ganhar o campeonato, pois ambos possuem 68 pontos e estão muito à frente dos outros times. No entanto, R e S não se enfrentarão na rodada final.

Os especialistas em futebol arriscam as seguintes probabilidades para os jogos da última rodada:

• R tem 80% de chance de ganhar e 15% de empatar;
• S tem 40% de chance de ganhar e 20% de empatar.

Segundo as informações dos especialistas em futebol, qual é a probabilidade de o time R ser o único vencedor do campeonato?

  1. A
    32%
  2. B
    38%
  3. C
    48%
  4. D
    54%
  5. E
    57%
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Resolução comentada

Os dois times têm 68 pontos. Depois da última rodada, R será o único campeão se terminar com mais pontos que S.

Probabilidades de cada time:

  • R: vitória 80%, empate 15%, derrota 100\% - 80\% - 15\% = 5\%.
  • S: vitória 40%, empate 20%, derrota 100\% - 40\% - 20\% = 40\%.

Como R e S jogam contra outros times, os resultados são independentes, e multiplicamos as probabilidades.

Vejamos os casos em que R fica à frente de S:

  1. R vence (+3 pontos) e S empata (+1): R fica com 71 e S com 69. Probabilidade: 0{,}80 \cdot 0{,}20 = 0{,}16.
  2. R vence e S perde: 0{,}80 \cdot 0{,}40 = 0{,}32.
  3. R empata (+1) e S perde (+0): R fica com 69 e S com 68. Probabilidade: 0{,}15 \cdot 0{,}40 = 0{,}06.

Se R vence e S vence, os dois chegam a 71 e há empate, então os dois são campeões, e R não é único. Os demais casos também não servem.

Soma dos casos favoráveis:

0{,}16 + 0{,}32 + 0{,}06 = 0{,}54 = 54\%

Alternativa D.

Pegadinha: Esquecer que R empatar e S perder (0,15 × 0,40) também deixa R sozinho na frente, e por isso as alternativas 48% e 38% enganam.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só o caso em que R vence e S perde (0,8 × 0,4), esquecendo os outros casos.
  • Bsoma 0,32 com 0,06, esquecendo o caso em que R vence e S empata.
  • Csoma 0,32 e 0,16, esquecendo o caso em que R empata e S perde.
  • Eerro de conta, que não corresponde a nenhuma combinação correta dos casos.

Assuntos: probabilidade, eventos independentes.

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