Questão 140 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma casa lidava com placas de gesso com formato de pentágono regular quando percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma parte triangular, conforme mostra a figura.

Pentágono regular ABCDE com vértices A no alto, B à direita, C embaixo à direita, D embaixo à esquerda e E à esquerda. O quadrilátero ABCD está preenchido em cinza e representa a parte restante da placa. O segmento AD é contínuo, e os segmentos AE e ED são tracejados, delimitando a parte triangular ADE que falta.

Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que faltava e, para isso, anotou as medidas dos ângulos x = E\widehat{A}D, y = E\widehat{D}A e z = A\widehat{E}D do triângulo ADE.

As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, respectivamente,

  1. A
    18, 18 e 108.
  2. B
    24, 48 e 108.
  3. C
    36, 36 e 108.
  4. D
    54, 54 e 72.
  5. E
    60, 60 e 60.
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Resolução comentada

O pentágono é regular: todos os lados são iguais e todos os ângulos internos também são iguais.

  1. Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados: (n-2)\cdot 180^\circ. Para n=5: 3\cdot 180^\circ = 540^\circ.

  2. Cada ângulo interno mede \dfrac{540^\circ}{5}=108^\circ. O ângulo z = A\widehat{E}D é o ângulo interno do pentágono no vértice E, então z=108^\circ.

  3. Os lados EA e ED são lados do pentágono, logo são iguais. Assim, o triângulo ADE é isósceles com base AD, e os ângulos da base são iguais: x=y.

  4. A soma dos ângulos de um triângulo é 180^\circ:

    x+y+z=180^\circ \Rightarrow 2x+108^\circ=180^\circ \Rightarrow 2x=72^\circ \Rightarrow x=36^\circ.

Portanto x=y=36^\circ e z=108^\circ.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AOs ângulos 18, 18 e 108 somam 144°, não 180°, então não fecham um triângulo.
  • BApresenta x e y diferentes, mas o triângulo é isósceles (EA = ED), e 24+48+108 = 180 não respeita essa igualdade.
  • DUsa z = 72°, que não é o ângulo interno do pentágono regular (108°).
  • ESupõe triângulo equilátero, mas AD é diagonal e não tem o mesmo comprimento do lado.

Assuntos: polígonos regulares, ângulos internos, triângulo isósceles.

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