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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 176 do ENEM PPL 2014

2º dia · Matemática · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

Barras de cobre cilíndricas são utilizadas para fazer aterramentos elétricos.

Durante a instalação de um chuveiro, uma pessoa utilizou uma barra de aterramento de densidade \rho, massa m, diâmetro D = 2R e altura h.

Para fazer um novo aterramento, essa pessoa utilizou uma barra com a mesma densidade, mas com o dobro da massa e o dobro do diâmetro em relação à usada no chuveiro.

A densidade é dada por \rho = \dfrac{m}{V} e o volume da barra cilíndrica é V = \pi \cdot R^2 \cdot h.

Qual a relação da altura da barra utilizada no novo aterramento comparada àquela utilizada no aterramento do chuveiro?

  1. A
    Quarta parte.
  2. B
    Metade.
  3. C
    Igual.
  4. D
    Dobro.
  5. E
    Quádruplo.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A densidade é massa dividida por volume, e o volume do cilindro é V = \pi R^2 h. Isolando a altura:

\rho = \frac{m}{\pi R^2 h} \Rightarrow h = \frac{m}{\pi R^2 \rho}

Agora compare as duas barras.

  1. Barra do chuveiro: massa m, raio R, densidade \rho, altura h = \dfrac{m}{\pi R^2 \rho}.
  2. Barra nova: massa 2m, diâmetro 2D, ou seja, raio 2R, mesma densidade \rho.

Altura da barra nova:

h' = \frac{2m}{\pi (2R)^2 \rho} = \frac{2m}{4\pi R^2 \rho} = \frac{1}{2}\cdot\frac{m}{\pi R^2 \rho} = \frac{h}{2}

O dobro da massa multiplica a altura por 2, mas o dobro do raio multiplica a área da base por 4, o que divide a altura por 4. O efeito conjunto é 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.

Portanto, a altura da nova barra é a metade da altura da barra do chuveiro.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem esquece que a massa também dobra e só nota que o raio ao quadrado quadruplica a área da base.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só o efeito do raio dobrado (área 4 vezes maior), esquecendo que a massa também dobrou.
  • Csupõe que dobrar massa e diâmetro se compensam, mas o diâmetro entra ao quadrado.
  • Dconsidera só o dobro da massa, ignorando o aumento do diâmetro.
  • Einverte a relação: a área da base aumenta 4 vezes, o que diminui a altura, não a aumenta.

Assuntos: Grandezas proporcionais e divisão proporcional, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Cilindro.

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Ver como caiu na prova Questão 176 no caderno Cinza do ENEM PPL 2014