Questão 163 do ENEM PPL 2014

2º dia · Matemática

Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 10^5 bactérias X e encerrou a observação ao final de uma hora.

Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora.

Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi de

  1. A
    2^{-2} \cdot 10^5
  2. B
    2^{-1} \cdot 10^5
  3. C
    2^2 \cdot 10^5
  4. D
    2^3 \cdot 10^5
  5. E
    2^4 \cdot 10^5
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Resolução comentada

Duplicar significa multiplicar por 2. Se isso acontece a cada quarto de hora (15 minutos), precisamos contar quantos períodos de 15 minutos cabem em 1 hora.

  1. Uma hora tem 60 minutos, então \frac{60}{15} = 4 períodos.
  2. Depois do 1º quarto de hora: 10^5 \cdot 2.
  3. Depois do 2º: 10^5 \cdot 2 \cdot 2 = 10^5 \cdot 2^2.
  4. Depois do 3º: 10^5 \cdot 2^3.
  5. Depois do 4º (1 hora completa): 10^5 \cdot 2^4.

O expoente de 2 é o número de duplicações, ou seja, 4. Em geral, a população após n duplicações é N = N_0 \cdot 2^n, com N_0 = 10^5 e n = 4.

Assim, o número de bactérias após uma hora é 2^4 \cdot 10^5, isto é, 1{,}6 \cdot 10^6.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa expoente negativo, que corresponderia a dividir a população por 4, e não a duplicá-la.
  • Bexpoente negativo indica metade da população, o contrário de duplicar.
  • Cconsidera só 2 duplicações, como se fossem 30 minutos.
  • Dconsidera só 3 duplicações, esquecendo a última, que se completa ao fim de 60 minutos.

Assuntos: potenciação, crescimento exponencial.

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