Questão 176 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida.

Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo

  1. A
    afim.
  2. B
    seno.
  3. C
    cosseno.
  4. D
    logarítmica crescente.
  5. E
    exponencial.
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Resolução comentada

Quando uma grandeza é multiplicada pelo mesmo fator a cada intervalo de tempo igual, o modelo é uma função exponencial.

Seja N_0 a população inicial. Vamos ver o que acontece hora a hora:

  1. Após 1 hora: N = N_0 \cdot \frac{1}{2}
  2. Após 2 horas: N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2
  3. Após 3 horas: N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3

Generalizando, após t horas:

N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t

O tempo t aparece no expoente e a base \frac{1}{2} está entre 0 e 1, então a função é exponencial decrescente.

Por que não é afim? Na função afim, a variação por hora seria constante (subtrair sempre a mesma quantidade). Aqui a queda é proporcional ao que existe: perde-se \frac{N_0}{2} na primeira hora, \frac{N_0}{4} na segunda, e assim por diante, ou seja, a variação não é constante.

Seno e cosseno são periódicas, e a população não oscila. A logarítmica crescente também não serve, pois a população diminui e o tempo não estaria no expoente.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aa função afim tem variação constante por hora, mas aqui a perda é proporcional à população, e não uma quantidade fixa.
  • Bo seno é periódico e oscila, enquanto a população só diminui.
  • Co cosseno também é periódico, o que não descreve uma redução contínua pela metade.
  • Da logarítmica crescente aumentaria com o tempo, e a população diminui.

Assuntos: função exponencial, modelagem matemática.

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