Questão 170 do ENEM PPL 2013
Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados.
Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?
- A7
- B8
- C9
- D12
- E13
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Resolução comentada
As distâncias diárias formam uma progressão aritmética (PA): o primeiro termo é a_1 = 300 m e a razão é r = 200 m. O termo geral é a_n = 300 + (n-1)\cdot 200 = 200n + 100.
A soma dos n primeiros termos é S_n = \frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}.
Substituindo:
O chip guarda no máximo 9{,}5\ \text{km} = 9500 m, então precisamos de S_n \le 9500:
- 100n^2 + 200n \le 9500
- Dividindo por 100: n^2 + 2n \le 95
- Testando valores: para n = 8, 64 + 16 = 80 \le 95 (serve). Para n = 9, 81 + 18 = 99 > 95 (não serve).
Conferindo: com 8 dias, o total é 8000 + 1600 \cdot... diretamente, 100\cdot 64 + 200\cdot 8 = 6400 + 1600 = 8000 m, que cabe. Com 9 dias, 8100 + 1800 = 9900 m, que passa de 9500 m.
Logo, o chip armazena a quilometragem por 8 dias consecutivos.
Alternativa B.
Por que as outras alternativas estão erradas
- APara 7 dias o total é 6300 m, sobrando espaço; o chip ainda comporta mais um dia.
- CEm 9 dias a soma é 9900 m, que ultrapassa os 9,5 km do chip.
- DValor muito alto: em 12 dias a soma seria 16800 m, bem acima de 9500 m.
- EEm 13 dias a soma seria 19500 m; provavelmente confunde 9500 m com o termo da PA ou erra a razão.
Assuntos: progressão aritmética, soma dos termos de uma PA.
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