PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 146 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A logomarca de uma empresa de computação é um quadrado, AEFG, com partes pintadas como mostra a figura. Sabe-se que todos os ângulos agudos presentes na figura medem 45^\circ e que AB = BC = CD = DE. A fim de divulgar a marca entre os empregados, a gerência decidiu que fossem pintadas logomarcas de diversos tamanhos nas portas, paredes e fachada da empresa. Pintadas as partes cinza de todas as logomarcas, sem desperdício e sem sobras, já foram gastos R$ 320,00.

Quadrado AEFG, com G no canto superior esquerdo, A no superior direito, E no inferior direito e F no inferior esquerdo. Na lateral direita, os pontos B, C e D dividem AE em quatro partes iguais. Há quatro regiões cinza nos cantos, faixas pretas entre elas e um quadrado branco central girado, com vértices no ponto médio do lado superior, em C, no ponto médio do lado inferior e no ponto médio do lado esquerdo.

O preço das tintas cinza, preta e branca é o mesmo.

Considerando que não haja desperdício e sobras, o custo para pintar as partes pretas e o custo para pintar as partes brancas serão, respectivamente,

  1. A
    R$ 320,00 e R$ 640,00.
  2. B
    R$ 640,00 e R$ 960,00.
  3. C
    R$ 960,00 e R$ 1 280,00.
  4. D
    R$ 1 280,00 e R$ 2 240,00.
  5. E
    R$ 2 240,00 e R$ 2 560,00.
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Resolução comentada

Como a tinta tem o mesmo preço, o custo é proporcional à área. Vamos medir tudo em função do lado do quadrado.

Seja AE = 4, então AB = BC = CD = DE = 1. O quadrado todo tem área 16.

  1. Cinza: são 4 triângulos retângulos isósceles nos cantos. O de canto A tem catetos AB = 1 e a outra ponta sobre o lado superior, também com medida 1, pois o ângulo é de 45^\circ. Área de cada um: \frac{1\cdot 1}{2}=\frac12. Os quatro somam 2.

  2. Branco: é um quadrado com vértices nos pontos médios dos lados e em C. A distância do ponto médio do lado superior (2, 4) até C (4, 2) é \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8. Área: (\sqrt8)^2 = 8.

  3. Preto: é o que sobra: 16 - 2 - 8 = 6.

Proporção das áreas: cinza : preto : branco = 2 : 6 : 8.

Se o cinza custou R$ 320,00 (área 2), cada unidade de área custa R$ 160,00.

  • Preto: $6 \times 160 = $ R$ 960,00
  • Branco: $8 \times 160 = $ R$ 1 280,00

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa proporções 1 e 2 em relação ao cinza, sem calcular as áreas preta e branca.
  • BAtribui preto = 2 vezes e branco = 3 vezes o cinza, sem base nas áreas.
  • DValores muito altos, de áreas mal calculadas (preto 8 e branco 14 unidades).
  • EValores muito altos, ignora que o total do quadrado é só 8 vezes o cinza.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 146 no caderno Cinza do ENEM PPL 2013