Questão 145 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e condição social, as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces consideradas bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a constante \Phi = 1{,}618\dots

Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como critério de beleza facial de suas contratadas. Para entrevistar uma nova candidata a modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto no ato da inscrição e, com ela, determina as medidas mostradas na figura.

Rosto em preto e branco com marcações das três medidas horizontais por setas duplas: a Medida M1 no nível dos olhos, a Medida M2 na largura da base do nariz e a Medida M3 na largura da boca.

\frac{M1}{M3} = \frac{M3}{M5} = \Phi

Analisando a fotografia de cinco candidatas, I, II, III, IV e V, para a seleção de uma única garota, foram constatadas estas medidas:

• Candidata I: \text{M1} = 11\text{ cm}; \text{M2} = 5{,}5\text{ cm} e \text{M3} = 7\text{ cm}.

• Candidata II: \text{M1} = 10{,}5\text{ cm}; \text{M2} = 4{,}5\text{ cm} e \text{M3} = 6{,}5\text{ cm}.

• Candidata III: \text{M1} = 11{,}5\text{ cm}; \text{M2} = 3{,}5\text{ cm} e \text{M3} = 6{,}5\text{ cm}.

• Candidata IV: \text{M1} = 10\text{ cm}; \text{M2} = 4\text{ cm} e \text{M3} = 6{,}5\text{ cm}.

• Candidata V: \text{M1} = 10{,}5\text{ cm}; \text{M2} = 4\text{ cm} e \text{M3} = 6{,}5\text{ cm}.

CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida. São Paulo: Livraria da Física, 2007 (adaptado).

A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da proporção áurea, foi

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Resolução comentada

A condição é \frac{M1}{M3} = \frac{M3}{M2} = \Phi \approx 1{,}618. O enunciado escreve M5, mas a figura só tem M1, M2 e M3; então o denominador da segunda razão é M2, a largura da base do nariz. As duas razões precisam ser aproximadamente iguais a 1{,}618.

Calculamos as razões de cada candidata:

  1. Candidata I: \frac{11}{7} \approx 1{,}57 e \frac{7}{5{,}5} \approx 1{,}27. Não serve.
  2. Candidata II: \frac{10{,}5}{6{,}5} \approx 1{,}615 e \frac{6{,}5}{4{,}5} \approx 1{,}44. A segunda razão falha.
  3. Candidata III: \frac{11{,}5}{6{,}5} \approx 1{,}77 e \frac{6{,}5}{3{,}5} \approx 1{,}86. Não serve.
  4. Candidata IV: \frac{10}{6{,}5} \approx 1{,}54 e \frac{6{,}5}{4} = 1{,}625. A primeira razão fica mais longe de \Phi.
  5. Candidata V: \frac{10{,}5}{6{,}5} \approx 1{,}615 e \frac{6{,}5}{4} = 1{,}625. As duas razões ficam muito próximas de 1{,}618.

Só a candidata V satisfaz as duas igualdades ao mesmo tempo.

Alternativa E.

Pegadinha: As candidatas II, IV e V têm uma das razões quase áurea, mas só a V acerta as duas ao mesmo tempo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAs razões dão cerca de 1,57 e 1,27, longe de 1,618.
  • BA primeira razão é boa (1,615), mas a segunda dá 1,44.
  • CAs razões dão cerca de 1,77 e 1,86, muito acima de 1,618.
  • DA segunda razão é boa (1,625), mas a primeira dá só 1,54.

Assuntos: razão e proporção, proporção áurea.

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