Questão 171 do ENEM PPL 2012

Question

Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir:

Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2).
Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3).
Passo 3: Repete-se o passo 2.

Figura 1 e Figura 3 do processo de geração do Carpete de Sierpinski
Figura 2 do processo de geração do Carpete de Sierpinski

Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles.

O número de quadrados pretos restantes nesse momento é

A
64.
B
512.
C
568.
D
576.
E
648.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 171 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir:

Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2).
Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3).
Passo 3: Repete-se o passo 2.

Figura 1 e Figura 3 do processo de geração do Carpete de Sierpinski
Figura 2 do processo de geração do Carpete de Sierpinski

Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles.

O número de quadrados pretos restantes nesse momento é

A
64.
B
512.
C
568.
D
576.
E
648.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Em cada passo, todo quadrado preto é dividido em 9 e perde o central, então vira 8 quadrados pretos. A quantidade de quadrados pretos é multiplicada por 8 a cada passo.

Figura 2 (passo 1): 8 quadrados pretos.
Figura 3 (passo 2): 8 \cdot 8 = 64 quadrados pretos. Na Figura 3 dá para conferir: a figura tem 9 \times 9 = 81 quadradinhos, e os 17 removidos são 1 grande de 9 quadradinhos mais 8 de 1 quadradinho, ou seja, 81 - 9 - 8 = 64.
Execução seguinte (passo 3): cada um dos 64 quadrados pretos da Figura 3 vira 8, então 64 \cdot 8 = 512.

O número de quadrados pretos segue a sequência 8^n, e para n = 3 temos:

8^3 = 512

O enunciado diz que o processo é executado 3 vezes, ou seja, 3 passos no total. A frase sobre dividir os quadrados da Figura 3 descreve justamente o passo 3.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ o número de quadrados pretos da Figura 3 (dois passos), faltando executar o terceiro.
CValor sem relação com a recorrência; não sai de multiplicar por 8 a cada passo.
DResulta de 64 \cdot 9 ou de erro semelhante, sem descontar o quadrado central removido de cada um.
ECorresponde a 64 \cdot 9 + 72 ou conta equivocada; esquece que cada quadrado gera 8 pretos, não 9 nem mais.

Assunto: Progressão geométrica.

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Questão 171 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012