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Questão 172 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente as caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1. A fim de aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e está indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de folgas.

Figura 1 ilustrando compartimento com 10 caixas dispostas verticalmente em 2 linhas e 5 colunas, com folga superior de 2 cm, folga à esquerda de 2 cm e à direita de 3 cm. Figura 2 ilustrando a nova proposta com 12 caixas dispostas horizontalmente em 4 linhas e 3 colunas, preenchendo totalmente o compartimento.

É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta?

  1. A
    Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura do compartimento, que é de 12 cm, o que permitiria colocar um número maior de caixas.
  2. B
    Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura e reduzir à metade a largura do compartimento.
  3. C
    Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de largura.
  4. D
    Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o número de folgas para apenas uma de 2 cm na largura do compartimento.
  5. E
    Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente no compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura.
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Resolução comentada

Chame de H a altura e de L a largura do compartimento. Vamos escrevê-las de dois modos, um para cada figura, e ver se a e b ficam determinados.

Figura 1. Há 5 caixas lado a lado (cada uma com largura a) e 2 caixas empilhadas (cada uma com altura b). As folgas são 2 cm no topo e 2 cm + 3 cm nas laterais:

  1. H = 2b + 2
  2. L = 5a + 2 + 3 = 5a + 5

Figura 2. Há 4 linhas, cada uma com altura a, e 3 colunas, cada uma com largura b, sem folgas:

  1. H = 4a
  2. L = 3b

Igualando as alturas: 2b + 2 = 4a, ou seja, b = 2a - 1.

Igualando as larguras: 5a + 5 = 3b. Substituindo b:

5a + 5 = 3(2a - 1) = 6a - 3 \Rightarrow a = 8

Então b = 2\cdot 8 - 1 = 15.

Dimensões do compartimento:

  • H = 4a = 32\ \text{cm}
  • L = 3b = 45\ \text{cm}

Conferindo na Figura 1: 2\cdot 15 + 2 = 32 e 5\cdot 8 + 5 = 45. As duas disposições cabem no mesmo compartimento, então a troca é possível, com acomodação perfeita de 32 cm por 45 cm.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAfirma que não é possível e inventa uma folga de 4 cm numa altura de 12 cm, valores que não decorrem das equações.
  • BDiz que seria preciso dobrar a altura e reduzir a largura à metade, mas as dimensões do compartimento são as mesmas nas duas figuras.
  • CAs medidas 20 cm por 27 cm não satisfazem as equações; a=8 e b=15 dão 32 cm por 45 cm.
  • DDiz que restaria uma folga de 2 cm na largura, mas a nova proposta elimina todas as folgas.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Ver como caiu na prova Questão 172 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012