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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 167 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis Gabarito corrigido

Um professor, ao fazer uma atividade de origami (dobraduras) com seus alunos, pede para que estes dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura a seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a nova posição do vértice A do triângulo ABC.

Dois desenhos do triângulo ABC, com A no vértice superior, C à esquerda e B à direita da base horizontal. No primeiro, N está no lado AC e M no lado AB, ligados pelo segmento tracejado NM. Uma seta aponta para o segundo desenho, que mostra a dobra ao longo de NM: os segmentos AN e AM estão tracejados, e o triângulo NDM está sombreado, com D sobre a base BC. Uma seta curva indica o deslocamento do vértice A até D.

Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os triângulos

  1. A
    CMA e CMB.
  2. B
    CAD e ADB.
  3. C
    NAM e NDM.
  4. D
    CND e DMB.
  5. E
    CND e NDM.
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Resolução comentada

Ao dobrar o papel ao longo de NM, o vértice A vai para D. A dobra é uma reflexão: o triângulo NAM fica sobre o triângulo NDM, e as medidas se conservam.

Como N é ponto médio de AC, temos AN = NC. Pela dobra, AN = ND. Logo:

  1. NC = NA = ND.
  2. O triângulo CND tem NC = ND, então é isósceles.

Do mesmo modo, M é ponto médio de AB, então AM = MB. Pela dobra, AM = MD. Logo:

  1. MB = MA = MD.
  2. O triângulo DMB tem MD = MB, então é isósceles.

Portanto CND e DMB são isósceles, quaisquer que sejam as medidas de ABC.

Os outros pares não servem. NAM e NDM são congruentes entre si, mas, como ABC é qualquer, não são isósceles em geral, pois NA não precisa ser igual a AM. Já CMA e CMB dependem de CM ser mediana, o que não garante lados iguais. Os triângulos com vértice em D e A juntos, como CAD, nem aparecem na figura como triângulos formados pela dobra.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana ao mostrar triângulos congruentes (NAM e NDM), o que faz parecer que são isósceles, mas congruência não implica lados iguais.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACMA e CMB têm a mediana CM, mas nada garante dois lados iguais em um triângulo qualquer.
  • BCAD e ADB não têm lados iguais garantidos; a dobra não relaciona CA, AD e DB dessa forma.
  • CNAM e NDM são congruentes entre si, mas NA e AM não precisam ser iguais, então não são isósceles em geral.
  • ECND é isósceles, mas NDM é congruente a NAM e não tem lados iguais garantidos.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 167 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012