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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 160 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F.

Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja \theta o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.

Semicircunferência com diâmetro horizontal LC e centro F. L é a extremidade esquerda, C é a extremidade direita e os segmentos LF e FC estão identificados por R. O ponto A está no arco, à esquerda de F. Os segmentos LA e AC estão tracejados, assim como a parte do segmento AF externa à região angular sombreada. O ângulo entre AF e FC está sombreado e identificado por θ.

Quantos graus mede o ângulo \theta quando o segmento AC medir R durante a corrida?

  1. A
    15 graus
  2. B
    30 graus
  3. C
    60 graus
  4. D
    90 graus
  5. E
    120 graus
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Resolução comentada

O ponto A está na circunferência e F é o centro, então FA = FC = R. Se AC = R, o triângulo AFC tem os três lados iguais a R, ou seja, é equilátero.

Em um triângulo equilátero, todos os ângulos internos medem 60^\circ. O ângulo \theta é o ângulo entre AF e FC, isto é, o ângulo interno do triângulo no vértice F.

  1. FA = R, porque A está na circunferência de centro F.
  2. FC = R, porque C também está na circunferência.
  3. AC = R, dado do enunciado.
  4. Triângulo equilátero: \theta = 60^\circ.

Conferindo pela figura: o ângulo sombreado é o interno ao triângulo AFC, marcado na região entre AF e FC, e a figura mostra A à esquerda de F, o que sugere um ângulo obtuso. Mas a figura é só ilustrativa: ela vale para uma posição qualquer do atleta. Com AC = R, o ponto A fica a 60^\circ de C, ou seja, mais perto de C do que de L.

A condição de LA \perp AC é apenas o fato de o ângulo inscrito em uma semicircunferência ser reto, e já está satisfeita. Ela não altera o cálculo.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana: LFA = 120^\circ é o ângulo suplementar de \theta, e a figura mostra A à esquerda de F, sugerindo um ângulo obtuso.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A15^\circ não corresponde a nenhuma relação do triângulo equilátero AFC.
  • B30^\circ seria o ângulo em L no triângulo LAC, não o ângulo central \theta.
  • D90^\circ ocorreria com AC=R\sqrt{2}, quando A está no topo do arco.
  • E120^\circ é o suplemento de 60^\circ, obtido ao confundir \theta com o ângulo LFA.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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