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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 156 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Transformações geométricas e localização

Vítor deseja revestir uma sala retangular de dimensões 3 m x 4 m, usando um tipo de peça de cerâmica. Em uma pesquisa inicial, ele selecionou cinco tipos de peças disponíveis, nos seguintes formatos e dimensões:

  • Tipo I: quadrados, com 0,5 m de lado.
  • Tipo II: triângulos equiláteros, com 0,5 m de lado.
  • Tipo III: retângulos, com dimensões 0,5 m x 0,6 m.
  • Tipo IV: triângulos retângulos isósceles, cujos catetos medem 0,5 m.
  • Tipo V: quadrados, com 0,6 m de lado.

Analisando a pesquisa, o mestre de obras recomendou que Vítor escolhesse um tipo de piso que possibilitasse a utilização do menor número de peças e não acarretasse sobreposições ou cortes nas cerâmicas.

Qual o tipo de piso o mestre de obras recomendou que fosse comprado?

  1. A
    Tipo I.
  2. B
    Tipo II.
  3. C
    Tipo III.
  4. D
    Tipo IV.
  5. E
    Tipo V.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A sala tem área 3\times 4 = 12\ \text{m}^2. Para não ter cortes nem sobreposições, as peças precisam preencher a sala exatamente, sem sobras nas bordas. Depois, entre as opções que funcionam, escolhemos a de maior área por peça (menos peças).

Verificando cada tipo:

  • Tipo I (quadrado de 0,5 m): 3 \div 0{,}5 = 6 e 4 \div 0{,}5 = 8, exatos. Área da peça: 0{,}25\ \text{m}^2. Número de peças: 12 \div 0{,}25 = 48.
  • Tipo II (triângulo equilátero de 0,5 m): a altura é \frac{0{,}5\sqrt{3}}{2}, irracional, então não fecha as bordas de forma exata em uma sala retangular sem cortes.
  • Tipo III (retângulo 0,5 x 0,6): 3 m e 4 m não são múltiplos exatos simultaneamente dos dois lados. Com 0,6 no lado de 3 m dá 5, e com 0,5 no lado de 4 m dá 8. Serve, com 5\times 8 = 40 peças. Área da peça: 0{,}30\ \text{m}^2, e 12\div 0{,}3 = 40.
  • Tipo IV (triângulo retângulo isósceles de cateto 0,5): dois triângulos formam um quadrado de 0,5 m, então são 48\times 2 = 96 peças.
  • Tipo V (quadrado de 0,6 m): 3\div 0{,}6 = 5, mas 4\div 0{,}6 \approx 6{,}67, não é exato, exigiria cortes.

As opções viáveis são I (48 peças), III (40 peças) e IV (96 peças). O menor número é 40, com o tipo III.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem só compara áreas: o quadrado de 0,6 m tem a maior peça, mas 4 m não é múltiplo de 0,6 m, e exigiria cortes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AFunciona sem cortes, mas usa 48 peças, mais que as 40 do retângulo.
  • BA altura do triângulo equilátero é irracional, então não preenche a sala retangular sem cortes.
  • DNão precisa de cortes, mas cada peça é só meio quadrado de 0,5 m, resultando em 96 peças.
  • EO lado de 4 m não é múltiplo de 0,6 m, então haveria cortes.

Assuntos: Transformações geométricas e localização, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 156 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012