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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 152 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Função quadrática

O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 - 36 (60\% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação.

Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?

  1. A
    0
  2. B
    25
  3. C
    50
  4. D
    75
  5. E
    100
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Resolução comentada

Seja x o número de moedas coletadas. A porcentagem descontada é x\% de x, ou seja, \frac{x}{100}\cdot x = \frac{x^2}{100}.

A pontuação fica:

P(x) = x - \frac{x^2}{100}

Essa é uma função quadrática com coeficiente de x^2 negativo (-\frac{1}{100}), então a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, no vértice.

  1. Coeficientes: a = -\frac{1}{100}, b = 1, c = 0.
  2. Valor de x no vértice: x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2\cdot(-1/100)} = 50.
  3. Pontuação máxima: P(50) = 50 - \frac{50^2}{100} = 50 - \frac{2500}{100} = 50 - 25 = 25.

Conferindo com o exemplo do enunciado: P(60) = 60 - 36 = 24, menor que 25, o que é coerente, pois 60 está depois do vértice.

O máximo de pontos é 25, obtido ao coletar 50 moedas.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana ao trazer 50, que é o valor de x no vértice (moedas), e não o valor máximo P(50)=25 que a questão pede.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A0 é a pontuação de quem coleta 0 ou 100 moedas, não o máximo.
  • C50 é o número de moedas que dá a pontuação máxima, não a pontuação em si.
  • DNão corresponde a nenhum valor da função; não há razão de cálculo para 75.
  • E100 é o número de moedas em que a pontuação zera, não a pontuação máxima.

Assuntos: Função quadrática, Porcentagem.

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Ver como caiu na prova Questão 152 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012