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Questão 159 do ENEM PPL 2011

2º dia · Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

José e Antônio discutiam qual dos dois teria mais chances de acertar na loteria. José tinha gasto R$ 14,00 numa aposta de 7 números na Mega-Sena, enquanto Antônio gastou R$ 15,00 em três apostas da quina, não repetindo números em suas apostas. Na discussão, eles consideravam a chance de José acertar a quadra da Mega-Sena e de Antônio acertar o terno da Quina.

PROBABILIDADE DE ACERTO NA MEGA-SENA
Quantidade Nº Jogados Valor de Aposta (R$) Probabilidade de acerto (1 em ...)
Sena Quina Quadra
6 2,00 50 063 860 154 518 2 332
7 14,00 7 151 980 44 981 1 038
8 56,00 1 787 995 17 192 539
9 168,00 595 998 7 791 312
10 420,00 238 399 3 973 195
11 924,00 108 363 2 211 129
12 1 848,00 54 182 1 317 90
13 3 432,00 29 175 828 65
14 6 006,00 16 671 544 48
15 10 010,00 10 003 370 37
PROBABILIDADE DE ACERTO NA QUINA
Quantidade Nº Jogados Valor de Aposta (R$) Probabilidade de acerto (1 em ...)
Quina Quadra Terno
5 0,50 24 040 016 64 106 866
6 2,00 4 006 669 21 657 445
7 5,00 1 144 762 9 409 261

Disponível em: http://www.caixa.com.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).

Nessas condições, a razão entre as probabilidades de acerto de José e de Antônio nos menores prêmios de cada loteria é

  1. A
    \dfrac{261}{3\ 114} , o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.
  2. B
    \dfrac{783}{1\ 038} , o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.
  3. C
    \dfrac{1\ 038}{261} , o que mostra que José tem mais chances de acertar.
  4. D
    \dfrac{3\ 114}{261} , o que mostra que Antônio tem mais chances de acertar.
  5. E
    \dfrac{3\ 114}{261} , o que mostra que José tem mais chances de acertar.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, identifique o que cada um apostou, pois a tabela depende disso.

José: 7 números na Mega-Sena (R$ 14,00). Pela tabela, a chance de acertar a quadra é de 1 em 1 038, ou seja, P_J=\dfrac{1}{1\ 038}.

Antônio: gastou R$ 15,00 em três apostas da quina. Na tabela da Quina, R$ 5,00 correspondem a 7 números, então três apostas de 7 números custam 3\times 5{,}00 = 15{,}00. A chance de acertar o terno em cada aposta é de 1 em 261. Como as três apostas não repetem números, as chances se somam: P_A=3\cdot\dfrac{1}{261}=\dfrac{3}{261}.

A razão pedida é José sobre Antônio:

\frac{P_J}{P_A}=\frac{1/1\ 038}{3/261}=\frac{1}{1\ 038}\cdot\frac{261}{3}=\frac{261}{3\ 114}

Como 3\ 114 > 261, a razão é menor que 1, ou seja, P_J < P_A. Isso mostra que a probabilidade de Antônio é maior.

(Conferindo: \dfrac{261}{3\ 114}\approx 0{,}084; Antônio tem cerca de 12 vezes mais chance.)

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas D e E trazem a razão invertida (Antônio/José); é preciso notar que as três apostas de Antônio multiplicam a chance dele por 3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BUsa 783 (3 × 261) no numerador, misturando os valores e não calculando a razão corretamente.
  • CInverte a razão e ignora que Antônio fez três apostas, concluindo erroneamente que José tem mais chances.
  • DInverte a razão (Antônio sobre José), mas a conclusão de que Antônio tem mais chances não combina com a fração apresentada.
  • EInverte a razão e conclui que José tem mais chances, o que é falso.

Assunto: Probabilidade: conceitos básicos.

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Ver como caiu na prova Questão 159 no caderno Cinza do ENEM PPL 2011