PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 175 do ENEM PPL 2010
Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.
| Museus Nacionais | Museus Internacionais |
|---|---|
| Masp – São Paulo | Louvre – Paris |
| MAM – São Paulo | Prado – Madri |
| Ipiranga – São Paulo | British Museum – Londres |
| Imperial – Petrópolis | Metropolitan – Nova York |
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?
- A6
- B8
- C20
- D24
- E36
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Resolução comentada
A escolha dos museus nacionais e a dos internacionais são independentes, e a ordem de visita não importa. Por isso usamos combinações para cada grupo e depois multiplicamos (princípio multiplicativo).
A combinação de n elementos tomados p a p é C_{n,p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}.
-
Museus nacionais: há 4 opções (Masp, MAM, Ipiranga, Imperial) e ele escolhe 3:
C_{4,3}=\frac{4!}{3!\,1!}=4 -
Museus internacionais: há 4 opções (Louvre, Prado, British Museum, Metropolitan) e ele escolhe 2:
C_{4,2}=\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{24}{4}=6 -
Cada escolha de nacionais pode ser combinada com cada escolha de internacionais:
4\cdot 6=24
Portanto, o professor tem 24 maneiras diferentes de escolher os 5 museus.
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AConsidera apenas C_{4,2}=6, esquecendo de multiplicar pelas escolhas dos museus nacionais.
- BSoma 4+4 (ou usa 2^3), sem calcular as combinações de cada grupo.
- CNão corresponde às combinações; resulta de uma conta como C_{6,3} ou C_{5,2}\cdot 2, sem relação com o problema.
- EMultiplica 6\cdot6, usando C_{4,2} também para os nacionais, em vez de C_{4,3}=4.
Assunto: Combinações e binômio de Newton.
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