PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 172 do ENEM PPL 2010

2º dia · Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.

Seção transversal de um círculo maior contendo em seu interior quatro círculos menores congruentes, dispostos simetricamente, tangentes dois a dois e tangentes internamente à circunferência maior.

Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.

Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a

  1. A
    12\text{ cm}.
  2. B
    12\sqrt{2}\text{ cm}.
  3. C
    24\sqrt{2}\text{ cm}.
  4. D
    6(1+\sqrt{2})\text{ cm}.
  5. E
    12(1+\sqrt{2})\text{ cm}.
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Resolução comentada

Os centros dos quatro círculos menores formam um quadrado, pois os círculos são congruentes, simétricos e tangentes dois a dois.

  1. Círculos tangentes têm a distância entre os centros igual à soma dos raios. Aqui, 6+6=12\ \text{cm}. Logo, o lado do quadrado dos centros mede 12\ \text{cm}.

  2. A diagonal desse quadrado mede 12\sqrt{2}\ \text{cm}. A metade dela é a distância do centro do tubo maior até o centro de cada tubo menor:

d=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\ \text{cm}
  1. Cada círculo menor é tangente internamente ao maior. Então o raio maior é a distância do centro até o centro do círculo menor mais o raio do círculo menor (o centro, o centro do menor e o ponto de tangência estão alinhados):
R=6\sqrt{2}+6=6(1+\sqrt{2})\ \text{cm}

O resultado é aproximadamente 14{,}5\ \text{cm}, que é maior que 12\ \text{cm}, como deve ser, já que o tubo maior contém dois tubos menores lado a lado (diâmetro total de 24\ \text{cm} na linha, mas na diagonal eles ficam mais próximos do centro).

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa apenas o diâmetro de um tubo menor, ignorando a geometria da disposição.
  • Busa só a diagonal do quadrado dos centros, sem somar o raio do tubo menor nem dividir por 2.
  • Cdobra a diagonal de lado 12, valor muito acima do possível.
  • Eusa o lado 12 em vez de 6 (dobra o resultado), esquecendo que a distância ao centro é a metade da diagonal.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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