PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 173 do ENEM PPL 2010

2º dia · Matemática · Matemática: Cilindro

Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura.

Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de

  1. A
    R$ 0,20, pois haverá uma redução de \frac{2}{3} na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
  2. B
    R$ 0,40, pois haverá uma redução de \frac{1}{3} na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
  3. C
    R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem.
  4. D
    R$ 0,80, pois haverá um aumento de \frac{1}{3} na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
  5. E
    R$ 1,00, pois haverá um aumento de \frac{2}{3} na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
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Resolução comentada

O rótulo cobre a superfície lateral do cilindro, de área A = 2\pi r h. O custo é proporcional a essa área. Então basta comparar a área lateral das duas embalagens, que têm o mesmo volume.

Embalagem atual: diâmetro 4 cm, logo r = 2 cm, e h = 13{,}5 cm.

  1. Volume: V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4 \cdot 13{,}5 = 54\pi\ \text{cm}^3.
  2. Área lateral: A = 2\pi \cdot 2 \cdot 13{,}5 = 54\pi\ \text{cm}^2.

Embalagem nova: diâmetro igual à altura, ou seja, h = 2r.

  1. Volume: V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3.
  2. Mesma capacidade: 2\pi r^3 = 54\pi \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = 3 cm, e h = 6 cm.
  3. Área lateral: A = 2\pi \cdot 3 \cdot 6 = 36\pi\ \text{cm}^2.

Comparação: a razão entre as áreas é \dfrac{36\pi}{54\pi} = \dfrac{2}{3}. Portanto a área cai \dfrac{1}{3}, isto é, de 54\pi para 36\pi.

O novo rótulo custa $\dfrac{2}{3} \cdot 0{,}60 = $ R$ 0,40.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem confunde a fração que resta (\frac{2}{3}) com a fração da redução (\frac{1}{3}), chegando a R$ 0,20.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde a razão \frac{2}{3} com a redução: o rótulo fica com \frac{2}{3} da área, não com \frac{1}{3}, e o preço de R$ 0,20 não segue.
  • CMesma capacidade não implica mesma área lateral; a área do rótulo muda.
  • DIndica aumento de área, mas a área diminui de 54\pi para 36\pi.
  • ETambém supõe aumento de área, o que contradiz o cálculo.

Assunto: Cilindro.

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