Questão 161 do ENEM PPL 2010

Question

Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V_1(t) = 250t^3 - 100t + 3000 e V_2(t) = 150t^3 + 69t + 3000.

Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a

A
1{,}3\text{ h.}
B
1{,}69\text{ h.}
C
10{,}0\text{ h.}
D
13{,}0\text{ h.}
E
16{,}9\text{ h.}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 161 do ENEM PPL 2010

2º dia · Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V_1(t) = 250t^3 - 100t + 3000 e V_2(t) = 150t^3 + 69t + 3000.

Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a

A
1{,}3\text{ h.}
B
1{,}69\text{ h.}
C
10{,}0\text{ h.}
D
13{,}0\text{ h.}
E
16{,}9\text{ h.}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os volumes são iguais quando V_1(t) = V_2(t). Basta igualar as duas funções e resolver a equação.

Igualamos: 250t^3 - 100t + 3000 = 150t^3 + 69t + 3000.
O 3000 aparece dos dois lados e se cancela. Passando tudo para um lado: 100t^3 - 169t = 0.
Colocamos t em evidência: t\,(100t^2 - 169) = 0.

O produto é zero se um dos fatores for zero. O fator t = 0 é o instante inicial, que o enunciado já informa. Falta o outro fator:

100t^2 = 169, logo t^2 = \dfrac{169}{100}.
Como o tempo é positivo, t = \dfrac{13}{10} = 1{,}3\ \text{h}.

Conferindo: com t = 1{,}3, t^3 = 2{,}197. Então V_1 = 549{,}25 - 130 + 3000 = 3419{,}25 e V_2 = 329{,}55 + 89{,}7 + 3000 = 3419{,}25. Os volumes coincidem.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas B, D e E exploram erros com \sqrt{169/100}: esquecer a raiz ou errar a posição da vírgula.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bconfunde t^2 = 1{,}69 com t, esquecendo de tirar a raiz quadrada.
Cnão corresponde à solução da equação; t = 10 não anula 100t^2 - 169.
Derra a posição da vírgula em 13/10, tomando t = 13.
Etoma 169/10 como resposta, sem resolver t^2 = 169/100 nem extrair a raiz.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Questão 161 no caderno Azul do ENEM PPL 2010