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Questão 45 (CFS 2) da EEAR 2025

CFS 2 · Matemática: Números complexos

– No plano de Argand-Gauss a seguir, A é afixo de Z_1, que tem módulo 4, e B, o afixo de Z_2, que tem módulo 6. Se \overline{\text{AB}} passa pela origem do plano, então Z_1 + Z_2 é igual a _________ .

Plano de Argand-Gauss com os eixos real e imaginário e um segmento de reta AB que passa pela origem. O ponto A está situado no segundo quadrante e o ponto B no quarto quadrante. Há uma marcação de ângulo de 30° entre o semieixo real positivo e o segmento OB.

  1. A
    2\sqrt{3} + 2i
  2. B
    2\sqrt{3} - 2i
  3. C
    \sqrt{3} + i
  4. D
    \sqrt{3} - i
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Resolução comentada

Cada número complexo pode ser escrito como z = |z|(\cos\theta + i\,\sen\theta), em que \theta é o ângulo medido a partir do semieixo real positivo.

Como o segmento passa pela origem, O fica entre A e B, e Z_1 e Z_2 estão em lados opostos da origem, sobre a mesma reta.

  1. B está no quarto quadrante, a 30^\circ abaixo do eixo real. Então \theta_B = -30^\circ.

  2. Com |Z_2| = 6:

    Z_2 = 6(\cos 30^\circ - i\,\sen 30^\circ) = 6\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) = 3\sqrt{3} - 3i

  3. A está no segundo quadrante, na direção oposta à de B. Então \theta_A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.

  4. Com |Z_1| = 4:

    Z_1 = 4(\cos 150^\circ + i\,\sen 150^\circ) = 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) = -2\sqrt{3} + 2i

  5. Somando:

    Z_1 + Z_2 = (-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + (2i - 3i) = \sqrt{3} - i

Confira: a soma tem módulo 6 - 4 = 2 e está na direção de B (-30^\circ), pois |\sqrt{3} - i| = 2. Isso bate com o resultado.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma os módulos como se fossem 2\sqrt{3}+2i, que é parte de Z_1 com sinais trocados, e erra a direção do resultado.
  • BUsa 2\sqrt{3}-2i, que tem módulo 4 e é o conjugado de -Z_1; não corresponde à soma.
  • CTem o módulo certo (2), mas aponta para o primeiro quadrante, enquanto a soma fica na direção de B, no quarto quadrante.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: EEAR 2025 · CFS 2. Prova oficial ↗