PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 (CFS 1) da EEAR 2025

CFS 1 · Matemática: Matrizes e determinantes

– Considere a matriz simétrica A = \begin{pmatrix} 2 & x & x \\ 1 & 0 & y + 2 \\ -1 & 6 - y & 1 \end{pmatrix}.

Então, o valor de \det A^{-1} é ______ .

  1. A
    \frac{1}{25}
  2. B
    \frac{-1}{41}
  3. C
    -2
  4. D
    1
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Resolução comentada

Uma matriz simétrica satisfaz a_{ij}=a_{ji}. Isso permite achar x e y e depois calcular o determinante.

  1. Posições a_{12}=a_{21}: x=1.
  2. Posições a_{13}=a_{31}: x=-1.

As duas condições se contradizem (x=1 e x=-1), então a matriz como escrita não pode ser simétrica. Na prova original, o enunciado provavelmente tinha a_{12}=x e a_{13}=x com a_{21}=1 e a_{31}=-1 trocados, ou a matriz era \begin{pmatrix}2&x&x\x&0&y+2\\ x&6-y&1\end{pmatrix}. Vou usar a leitura em que as relações são consistentes com os dados.

Tomando a_{12}=a_{21}: x=1. Tomando a_{13}=a_{31} com a_{13}=x=1: a_{31}=-1 não bate. Para seguir, aceito a leitura a_{13}=-1, ou seja, x=-1 na posição (1,3), e x=1 na (1,2).

  1. Posições a_{23}=a_{32}: y+2=6-y\Rightarrow y=2.

A matriz fica A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&0&4\\-1&4&1\end{pmatrix}.

  1. Determinante (Sarrus ou cofatores na 1ª linha):
\det A=2(0\cdot1-4\cdot4)-1(1\cdot1-4\cdot(-1))+(-1)(1\cdot4-0\cdot(-1))
\det A=2(-16)-1(5)-4=-32-5-4=-41
  1. Como \det A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}:
\det A^{-1}=\frac{1}{-41}=-\frac{1}{41}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o determinante calculado; não corresponde a 1/\det A.
  • CNão corresponde a 1/\det A da matriz obtida com y=2.
  • DSeria o resultado se \det A=1, o que não ocorre.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: EEAR 2025 · CFS 1. Prova oficial ↗