PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 34 (CFS 2) da EEAR 2025

CFS 2 · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

– Observando que a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = x^5 - 2x^4 - 5x^3 + 6x^2 é igual a zero, pode-se concluir que ao multiplicar a menor raiz pela maior raiz de P(x) obtém-se ________.

  1. A
    0
  2. B
    -1
  3. C
    -2
  4. D
    -6
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Resolução comentada

A soma dos coeficientes de P(x) é P(1), pois todas as potências de 1 valem 1. Como essa soma é zero, P(1)=0, ou seja, x=1 é raiz. Essa é a dica do enunciado.

Fatorando, primeiro colocamos x^2 em evidência:

P(x)=x^2\,(x^3-2x^2-5x+6)

Isso já mostra que x=0 é raiz dupla.

Agora dividimos x^3-2x^2-5x+6 por (x-1) com Briot-Ruffini, usando a raiz 1 e os coeficientes 1,\,-2,\,-5,\,6:

  1. Baixa o 1.
  2. 1\cdot1+(-2)=-1.
  3. -1\cdot1+(-5)=-6.
  4. -6\cdot1+6=0 (resto zero, confirmando a raiz).

O quociente é x^2-x-6. Suas raízes vêm de:

x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2}\Rightarrow x=3\ \text{ou}\ x=-2

As raízes de P(x) são, portanto, -2,\ 0,\ 0,\ 1,\ 3.

A menor raiz é -2 e a maior é 3, então o produto é:

(-2)\cdot 3=-6

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Amultiplica a raiz 0 (dupla) por outra raiz, sem tomar a menor e a maior raiz.
  • Busa a raiz 1 como se fosse a maior ou a menor, ou confunde o produto com outra combinação das raízes.
  • Cmultiplica -2 por 1, esquecendo que a maior raiz é 3.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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Fonte: EEAR 2025 · CFS 2. Prova oficial ↗