PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 (CFS 1) da EEAR 2025

CFS 1 · Matemática: Números complexos

– Se z_1 = 3\biggl(\cos\dfrac{4\pi}{3} + i\sen\dfrac{4\pi}{3}\biggr) e z_2 = 4\biggl(\cos\dfrac{11\pi}{6} + i\sen\dfrac{11\pi}{6}\biggr) são dois números complexos, então z_1.z_2 é igual a ____________________.

  1. A
    12\biggl(\cos\dfrac{7\pi}{6} + i\sen\dfrac{7\pi}{6}\biggr)
  2. B
    12\biggl(\cos\dfrac{4\pi}{3} + i\sen\dfrac{4\pi}{3}\biggr)
  3. C
    7\biggl(\cos\dfrac{11\pi}{6} + i\sen\dfrac{11\pi}{6}\biggr)
  4. D
    7\biggl(\cos\dfrac{19\pi}{6} + i\sen\dfrac{19\pi}{6}\biggr)
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Resolução comentada

Na forma trigonométrica, o produto de dois números complexos multiplica os módulos e soma os argumentos:

z_1\cdot z_2 = |z_1||z_2|\,[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sen(\theta_1+\theta_2)]
  1. Módulo: 3 \cdot 4 = 12.
  2. Argumento: \dfrac{4\pi}{3} + \dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{8\pi}{6} + \dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{19\pi}{6}.

Agora reduzimos à primeira volta, subtraindo 2\pi = \dfrac{12\pi}{6}:

\dfrac{19\pi}{6} - \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}

Como seno e cosseno têm período 2\pi, os ângulos \dfrac{19\pi}{6} e \dfrac{7\pi}{6} dão o mesmo número complexo. Assim:

z_1\cdot z_2 = 12\left(\cos\dfrac{7\pi}{6} + i\sen\dfrac{7\pi}{6}\right)

Isso coincide com a alternativa A. A alternativa D tem o argumento equivalente, mas o módulo errado (7 em vez de 12).

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana: o argumento 19\pi/6 está correto (equivale a 7\pi/6), mas o módulo foi somado (7) em vez de multiplicado (12).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BTem módulo correto, mas o argumento é só o de z_1, sem somar o de z_2.
  • CSoma os módulos (7) e usa apenas o argumento de z_2.
  • DSoma os módulos em vez de multiplicar; o argumento 19\pi/6 está certo, mas o módulo 7 está errado.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: EEAR 2025 · CFS 1. Prova oficial ↗